Um engenheiro estuda a tensão suportada por vigas de alumínio. Sabese que a tensão nas vigas segue um modelo normal com desvio padrão de
. Uma amostra aleatória com a tensão de 12 vigas foi analisada e resultou em uma tensão média de
. Para
aceitaríamos ou rejeitaríamos a média de tensão de 3500 ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. O problema fala sobre um engenheiro que está analisando a tensão que as vigas de alumínio conseguem suportar. Sabemos que essa tensão segue uma distribuição normal com desvio padrão
. Ele pegou uma amostra aleatória de 12 vigas e encontrou uma tensão média de
. A pergunta é: para um nível de significância
, a gente aceita ou rejeita a hipótese de que a média de tensão é 3500?
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o que está sendo perguntado. Aqui estamos lidando com um teste de hipótese sobre a média de uma população. Queremos testar se a média real
é igual a 3500 ou não, com base na amostra que temos.
Passo 3
Vamos definir as hipóteses:
- Hipótese nula (
): (a média real é 3500) - Hipótese alternativa (
): (a média real é diferente de 3500)
Passo 4
Como a distribuição da tensão é normal e conhecemos o desvio padrão da população (
), podemos usar o teste z para a média.
Passo 5
O próximo passo é calcular o estatístico de teste z, que mede quantos desvios padrão a média da amostra está distante da média hipotética. A fórmula é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é a média hipotética -
é o desvio padrão -
é o tamanho da amostra
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nível de significância
em um teste bicaudal (já que a hipótese alternativa é diferente de 3500). Consultando a tabela z, para
, cada cauda tem 0.005. O valor crítico z é aproximadamente
.
Passo 8
Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
- Se
ou , rejeitamos . - Caso contrário, não rejeitamos
.
No nosso caso,
é muito menor que -2.576.
Passo 9
Como
, rejeitamos a hipótese nula
.
Resposta
Rejeitamos a hipótese de que a média de tensão é 3500 para
.