Um engenheiro estuda a tensão suportada por vigas de alumínio. Sabese que a tensão nas vigas segue um modelo normal com desvio padrão de
sigma=60. Uma amostra aleatória com a tensão de 12 vigas foi analisada e resultou em uma tensão média de barX=3250. Para alpha=0.01 aceitaríamos ou rejeitaríamos a média de tensão de 3500 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. O problema fala sobre um engenheiro que está analisando a tensão que as vigas de alumínio conseguem suportar. Sabemos que essa tensão segue uma distribuição normal com desvio padrão sigma = 60. Ele pegou uma amostra aleatória de 12 vigas e encontrou uma tensão média de barX = 3250. A pergunta é: para um nível de significância alpha = 0.01, a gente aceita ou rejeita a hipótese de que a média de tensão é 3500?

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o que está sendo perguntado. Aqui estamos lidando com um teste de hipótese sobre a média de uma população. Queremos testar se a média real mu é igual a 3500 ou não, com base na amostra que temos.

Passo 3

Vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): mu = 3500 (a média real é 3500)
  • Hipótese alternativa ( Ha): mu neq 3500 (a média real é diferente de 3500)

Passo 4

Como a distribuição da tensão é normal e conhecemos o desvio padrão da população ( sigma = 60), podemos usar o teste z para a média.

Passo 5

O próximo passo é calcular o estatístico de teste z, que mede quantos desvios padrão a média da amostra está distante da média hipotética. A fórmula é:
z = barX - mu0sigma / raizn
Onde:
  • barX = 3250 é a média da amostra
  • mu0 = 3500 é a média hipotética
  • sigma = 60 é o desvio padrão
  • n = 12 é o tamanho da amostra

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
z = 3250 - 350060 / raiz12 = -25060 / 3.464 = -25017.32 approx -14.43

Passo 7

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nível de significância alpha = 0.01 em um teste bicaudal (já que a hipótese alternativa é diferente de 3500). Consultando a tabela z, para alpha = 0.01, cada cauda tem 0.005. O valor crítico z é aproximadamente pm 2.576.

Passo 8

Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
  • Se z < -2.576 ou z > 2.576, rejeitamos H0.
  • Caso contrário, não rejeitamos H0.
No nosso caso, z approx -14.43 é muito menor que -2.576.

Passo 9

Como -14.43 < -2.576, rejeitamos a hipótese nula H0.

Resposta

Rejeitamos a hipótese de que a média de tensão é 3500 para alpha = 0.01.

Exercícios relacionados