Uma indústria produz anéis de aço que integram equipamentos automotivos. O diâmetro desses anéis é uma variável com desvio padrão sigma=0,001. Uma amostra com 36 anéis é selecionada e o diametro médio encontrado foi barX=74,03. Construa os IC 99 % e 95 % para a média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre confiança na média de produção de anéis de aço. A gente vai usar conceitos de estatística, especificamente intervalo de confiança. Pra resolver isso, precisamos saber como calcular esses intervalos usando a média da amostra, o desvio padrão da população e o tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que já temos no problema:
  • Desvio padrão da população ( sigma): 0,001
  • Tamanho da amostra ( n): 36 anéis
  • Média da amostra ( barX): 74,03

Passo 3

Como queremos construir intervalos de confiança para a média e conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição normal (Z). A fórmula para o intervalo de confiança é:
barX pm Zalpha/2 times sigmaraizn
Onde:
  • barX é a média da amostra
  • Zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança
  • sigma é o desvio padrão da população
  • n é o tamanho da amostra

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de Zalpha/2 para os níveis de confiança de 95% e 99%.
  • Para 95% de confiança, Zalpha/2 = 1,96
  • Para 99% de confiança, Zalpha/2 = 2,576
Esses valores vêm das tabelas da distribuição normal.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão ( sigmaraizn):
sigmaraizn = 0,001raiz36 = 0,0016 = 0,0001667

Passo 6

Com o erro padrão e os valores de Zalpha/2, vamos calcular os margens de erro para cada nível de confiança:
  • Para 95%:
    1,96 times 0,0001667 approx 0,000327
  • Para 99%:
    2,576 times 0,0001667 approx 0,000429

Passo 7

Finalmente, construímos os intervalos de confiança somando e subtraindo a margem de erro da média da amostra.
  • Intervalo de Confiança de 95%:
    74,03 pm 0,000327 Rightarrow [74,029673; 74,030327]
  • Intervalo de Confiança de 99%:
    74,03 pm 0,000429 Rightarrow [74,029571; 74,030429]

Resposta

Os intervalos de confiança para a média do diâmetro dos anéis são:
  • 95% de confiança: entre 74,029673 e 74,030327
  • 99% de confiança: entre 74,029571 e 74,030429

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