(2/2004) Seja
e
a base do tetraedro
limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda
a função dada por
. Observe que, se
é um ponto interior a
, então
corresponde à área total das faces do paralelepípedo inscrito em
de lados
e
.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
que são interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função
em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
no domínio
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos um tetraedro
definido no espaço tridimensional, com a base
no plano
onde
,
e
. A função
representa a área total das faces de um paralelepípedo inscrito em
. O conteúdo envolvido aqui inclui cálculo de derivadas parciais, identificação de pontos críticos e otimização de funções em domínios restritos.
Passo 2
a) Obter as derivadas parciais de
.
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Elas medem a taxa de variação da função
em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A função dada é:
Vamos expandir a expressão para facilitar a derivação:
Agora, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
b) Encontrar os pontos críticos de
que estão interiores ao domínio
.
Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da soma.
Multiplicando a primeira equação por 26 e a segunda por 24 para eliminar uma das variáveis:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Como
deve ser positivo no domínio
, não existe ponto crítico interior que satisfaça as condiç��es. Portanto, não há pontos críticos no interior de
.
Passo 4
c) Determinar o valor máximo da função
em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
A fronteira de
é composta por três segmentos:
-
Segmento
, com e Aqui,, então a função fica: Para encontrar o máximo, derivamos em relação ae igualamos a zero: Verificamos se está dentro do intervalo:Portanto, o valor máximo neste segmento é: -
Segmento
, com e Aqui,, então: Derivando em relação ae igualando a zero: Verificando:Valor máximo: -
Segmento
, com e Neste segmento, podemos expressarem função de : Substituímosna função : Derivamos em relação ae igualamos a zero: Verificamos: Valor máximo:
Passo 5
d) Determinar o valor máximo de
no domínio
.
Com base nos resultados anteriores:
-
Nos segmentos da fronteira:
-
: máximo em -
: máximo em -
: máximo em
-
-
No interior de
: não existem pontos críticos.
Portanto, o valor máximo de
no domínio
é 12, atingido no ponto
.
Resposta
O valor máximo da função
no domínio
é 12, atingido no ponto
.
Exercícios relacionados
(1/2019) Sejam
e
e
a função dada por
.
a) Esboce o conjunto .
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de que são interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de no domínio
.
a) Esboce o conjunto
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
(1/2019 - extra) Determine o plano tangente à superfície
com
e
, que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. (Sugestão: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano
no primeiro octante é dado por
.
(1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica e com três lados retos. Observe que a área
da seção transversal é uma função
das medidas
e
indicadas na figura, e o domínio dessa função é o conjunto
. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de
e
que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função .
b) Esboce e descreva a fronteira de .
a) Obtenha a expressão da função
b) Esboce e descreva a fronteira de
c) Determine o valor máximo de
sobre a fronteira de
.
d) Calcule os pontos críticos de que são interiores a
.
e) Determine os valores de e
que maximizam a área da seção. transversal.
d) Calcule os pontos críticos de
e) Determine os valores de
Calcule o volume do conjunto dado
.