(2/2004) Seja D = {(x, y) em R^2: x > 0, y > 0} e 12 - 6x - 8y > 0 a base do tetraedro T limitado pelos planos coordenados e pelo plano z = 12 - 6 x - 8 y, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda A: D -> R a função dada por A(x, y) = 2xy + 2(x + y)(12 - 6x - 8y). Observe que, se (x, y) é um ponto interior a D, então A(x, y) corresponde à área total das faces do paralelepípedo inscrito em T de lados x, y e z = 12 - 6 x - 8 y.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de A(x, y).
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de A(x, y) que são interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função A em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de A no domínio D.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos um tetraedro definido no espaço tridimensional, com a base no plano onde , e . A função representa a área total das faces de um paralelepípedo inscrito em . O conteúdo envolvido aqui inclui cálculo de derivadas parciais, identificação de pontos críticos e otimização de funções em domínios restritos.

Passo 2

a) Obter as derivadas parciais de .
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Elas medem a taxa de variação da função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A função dada é:
Vamos expandir a expressão para facilitar a derivação:
Agora, calculamos as derivadas parciais em relação a e :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 3

b) Encontrar os pontos críticos de que estão interiores ao domínio .
Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da soma.
Multiplicando a primeira equação por 26 e a segunda por 24 para eliminar uma das variáveis:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Como deve ser positivo no domínio , não existe ponto crítico interior que satisfaça as condiç��es. Portanto, não há pontos críticos no interior de .

Passo 4

c) Determinar o valor máximo da função em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de .
A fronteira de é composta por três segmentos:
  1. Segmento , com e
    Aqui, , então a função fica:
    Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
    Verificamos se está dentro do intervalo:
    Portanto, o valor máximo neste segmento é:
  2. Segmento , com e
    Aqui, , então:
    Derivando em relação a e igualando a zero:
    Verificando:
    Valor máximo:
  3. Segmento , com e
    Neste segmento, podemos expressar em função de :
    Substituímos na função :
    Derivamos em relação a e igualamos a zero:
    Verificamos :
    Valor máximo:

Passo 5

d) Determinar o valor máximo de no domínio .
Com base nos resultados anteriores:
  • Nos segmentos da fronteira:
    • : máximo em
    • : máximo em
    • : máximo em
  • No interior de : não existem pontos críticos.
Portanto, o valor máximo de no domínio é 12, atingido no ponto .

Resposta

O valor máximo da função no domínio é 12, atingido no ponto .

Exercícios relacionados

(1/2019) Sejam D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0} e 12 - 6 x - 4 y ≥ 0 e A: D -> R a função dada por A(x, y) = 2xy + 2(x + y)(12 - 6x - 4y).
a) Esboce o conjunto D.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de A(x, y) que são interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função A em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de A no domínio D.
(1/2019 - extra) Determine o plano tangente à superfície
x^2/4 + y^2/9 + z^2/36 = 1
com x > 0, y > 0 e z > 0, que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. (Sugestão: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano a x + b y + c z = d no primeiro octante é dado por V = d^3 / (6 a b c).
(1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica e com três lados retos. Observe que a área A da seção transversal é uma função A = A(x, theta) das medidas x e theta indicadas na figura, e o domínio dessa função é o conjunto D = [0, 5] x [0, pi/2]. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de x e theta que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função A(x, theta).
b) Esboce e descreva a fronteira de D.
c) Determine o valor máximo de A(x, theta) sobre a fronteira de D.
d) Calcule os pontos críticos de A(x, theta) que são interiores a D.
e) Determine os valores de x e theta que maximizam a área da seção. transversal.
Calcule o volume do conjunto dado {(x, y, z) em R^3: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= e^(x+y)}.