(2/2004) Seja
e
a base do tetraedro
limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda
a função dada por
. Observe que, se
é um ponto interior a
, então
corresponde à área total das faces do paralelepípedo inscrito em
de lados
e
.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
que são interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função
em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
no domínio
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos um tetraedro
definido no espaço tridimensional, com a base
no plano
onde
,
e
. A função
representa a área total das faces de um paralelepípedo inscrito em
. O conteúdo envolvido aqui inclui cálculo de derivadas parciais, identificação de pontos críticos e otimização de funções em domínios restritos.
Passo 2
a) Obter as derivadas parciais de
.
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Elas medem a taxa de variação da função
em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A função dada é:
Vamos expandir a expressão para facilitar a derivação:
Agora, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
b) Encontrar os pontos críticos de
que estão interiores ao domínio
.
Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da soma.
Multiplicando a primeira equação por 26 e a segunda por 24 para eliminar uma das variáveis:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Como
deve ser positivo no domínio
, não existe ponto crítico interior que satisfaça as condiç��es. Portanto, não há pontos críticos no interior de
.
Passo 4
c) Determinar o valor máximo da função
em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
A fronteira de
é composta por três segmentos:
-
Segmento
, com e Aqui,, então a função fica: Para encontrar o máximo, derivamos em relação ae igualamos a zero: Verificamos se está dentro do intervalo:Portanto, o valor máximo neste segmento é: -
Segmento
, com e Aqui,, então: Derivando em relação ae igualando a zero: Verificando:Valor máximo: -
Segmento
, com e Neste segmento, podemos expressarem função de : Substituímosna função : Derivamos em relação ae igualamos a zero: Verificamos: Valor máximo:
Passo 5
d) Determinar o valor máximo de
no domínio
.
Com base nos resultados anteriores:
-
Nos segmentos da fronteira:
-
: máximo em -
: máximo em -
: máximo em
-
-
No interior de
: não existem pontos críticos.
Portanto, o valor máximo de
no domínio
é 12, atingido no ponto
.
Resposta
O valor máximo da função
no domínio
é 12, atingido no ponto
.