(1/2019) Sejam D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0} e 12 - 6 x - 4 y ≥ 0 e A: D -> R a função dada por A(x, y) = 2xy + 2(x + y)(12 - 6x - 4y).
a) Esboce o conjunto D.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de A(x, y) que são interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função A em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de A no domínio D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de otimização com algumas partes para resolver. O conteúdo envolve análise de funções em várias variáveis e otimização, que é quando queremos encontrar os valores máximos ou mínimos que uma função pode atingir dentro de um certo domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender como esboçar o domínio , encontrar pontos críticos da função dentro desse domínio, analisar os limites e, finalmente, determinar o valor máximo da função no domínio .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o conjunto . O conjunto é definido por todas as combinações de e que satisfazem:
Isso significa que estamos trabalhando no primeiro quadrante do plano cartesiano (já que e são maiores ou iguais a zero). A terceira inequação pode ser rearranjada para:
Para esboçar , vamos desenhar as retas correspondentes a , e e identificar a região que satisfaz todas as desigualdades.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos de que estão dentro do domínio . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Isso nos ajuda a encontrar possíveis máximos ou mínimos locais.
A função dada é:
Vamos calcular as derivadas parciais e e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 4

Para determinar o valor máximo da função nos limites do domínio , precisamos analisar cada um dos três segmentos de reta que compõem a fronteira de :
  1. Segmento no eixo : onde .
  2. Segmento no eixo : onde .
  3. Segmento da reta .
Em cada segmento, substituiremos os valores de ou conforme apropriado e encontraremos o valor máximo de nessas condições.

Passo 5

Finalmente, usando os resultados dos passos anteriores, vamos comparar os valores máximos encontrados nos pontos críticos e nos segmentos de fronteira para determinar qual é o valor máximo global da função no domínio .

Resposta

Assim, seguindo esses passos, conseguimos encontrar o valor máximo da função no conjunto . Se precisar de mais detalhes em algum passo específico, é só falar!

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