(1/2019) Sejam
e
e
a função dada por
.
a) Esboce o conjunto
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
que são interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função
em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
no domínio
.
a) Esboce o conjunto
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de otimização com algumas partes para resolver. O conteúdo envolve análise de funções em várias variáveis e otimização, que é quando queremos encontrar os valores máximos ou mínimos que uma função pode atingir dentro de um certo domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender como esboçar o domínio
, encontrar pontos críticos da função dentro desse domínio, analisar os limites e, finalmente, determinar o valor máximo da função
no domínio
.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o conjunto
. O conjunto
é definido por todas as combinações de
e
que satisfazem:
Isso significa que estamos trabalhando no primeiro quadrante do plano cartesiano (já que
e
são maiores ou iguais a zero). A terceira inequação pode ser rearranjada para:
Para esboçar
, vamos desenhar as retas correspondentes a
,
e
e identificar a região que satisfaz todas as desigualdades.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos de
que estão dentro do domínio
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função
em relação a
e
são iguais a zero. Isso nos ajuda a encontrar possíveis máximos ou mínimos locais.
A função dada é:
Vamos calcular as derivadas parciais
e
e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 4
Para determinar o valor máximo da função
nos limites do domínio
, precisamos analisar cada um dos três segmentos de reta que compõem a fronteira de
:
- Segmento no eixo
: onde . - Segmento no eixo
: onde . - Segmento da reta
.
Em cada segmento, substituiremos os valores de
ou
conforme apropriado e encontraremos o valor máximo de
nessas condições.
Passo 5
Finalmente, usando os resultados dos passos anteriores, vamos comparar os valores máximos encontrados nos pontos críticos e nos segmentos de fronteira para determinar qual é o valor máximo global da função
no domínio
.
Resposta
Assim, seguindo esses passos, conseguimos encontrar o valor máximo da função
no conjunto
. Se precisar de mais detalhes em algum passo específico, é só falar!
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com
e
, que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. (Sugestão: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano
no primeiro octante é dado por
.
Determine as dimensões de uma caixa em forma de paralelepípedo reto aberta no topo com volume de
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(2/2004) Seja
e
a base do tetraedro
limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda
a função dada por
. Observe que, se
é um ponto interior a
, então
corresponde à área total das faces do paralelepípedo inscrito em
de lados
e
.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de que são interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de no domínio
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
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da seção transversal é uma função
das medidas
e
indicadas na figura, e o domínio dessa função é o conjunto
. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de
e
que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função .
b) Esboce e descreva a fronteira de .
a) Obtenha a expressão da função
b) Esboce e descreva a fronteira de
c) Determine o valor máximo de
sobre a fronteira de
.
d) Calcule os pontos críticos de que são interiores a
.
e) Determine os valores de e
que maximizam a área da seção. transversal.
d) Calcule os pontos críticos de
e) Determine os valores de