(1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica e com três lados retos. Observe que a área A da seção transversal é uma função A = A(x, theta) das medidas x e theta indicadas na figura, e o domínio dessa função é o conjunto D = [0, 5] x [0, pi/2]. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de x e theta que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função A(x, theta).
b) Esboce e descreva a fronteira de D.
c) Determine o valor máximo de A(x, theta) sobre a fronteira de D.
d) Calcule os pontos críticos de A(x, theta) que são interiores a D.
e) Determine os valores de x e theta que maximizam a área da seção. transversal.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício fala sobre fabricar uma calha a partir de uma chapa de metal com largura de 10 metros. A seção transversal dessa calha tem uma forma simétrica com três lados retos. A área dessa seção, chamada , depende de duas medidas: e . Nosso objetivo é encontrar os valores de e que maximizam essa área, já que a vazão é proporcional a ela.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis, otimização e cálculo de derivadas parciais. Vamos dividir a resolução em partes para facilitar o entendimento.

Passo 2

Parte a) Obter a expressão da função .
Primeiro, precisamos entender como a área é formada pela seção transversal da calha. Como a figura não está disponível, vamos assumir que a calha tem duas inclinações iguais formando um ângulo com a horizontal e uma base reta de comprimento .
A área de uma figura simétrica com dois lados inclinados e uma base reta pode ser dividida em um retângulo e dois triângulos. Então, a área total será a soma da área do retângulo e das duas áreas dos triângulos.
A área do retângulo é simplesmente , onde é a altura. Já a área de cada triângulo é .
Como temos dois triângulos, a área total será:
Agora, precisamos expressar em termos de . Considerando que é a altura do triângulo, temos:
Substituindo na expressão da área:

Passo 3

Parte b) Esboçar e descrever a fronteira de .
O domínio é definido como . Isso significa que varia de 0 a 5 metros, e varia de 0 a radianos (ou 0 a 90 graus).
A fronteira de consiste nos limites desses intervalos:
  1. Para : varia de 0 a .
  2. Para : varia de 0 a .
  3. Para : varia de 0 a 5.
  4. Para : varia de 0 a 5.
Visualmente, se representarmos em um plano cartesiano com no eixo horizontal e no eixo vertical, teremos um retângulo onde:
  • A base vai de 0 a 5 no eixo .
  • A altura vai de 0 a no eixo .

Passo 4

Parte c) Determinar o valor máximo de sobre a fronteira de .
Para encontrar o máximo da função na fronteira de , vamos analisar cada uma das partes da fronteira:
  1. Para :
A área é zero nesse caso.
  1. Para :
Como tende ao infinito quando se aproxima de , teoricamente, a área aumenta sem limite. Porém, fisicamente, a calha não pode ter uma inclinação de 90 graus, então consideramos valores limitados.
  1. Para :
A área também é zero quando .
  1. Para :
Aqui, é indefinida (tende ao infinito), indicando uma área infinita, o que não é fisicamente possível.
Conclusão: Na fronteira de , a área atinge valores máximos conforme se aproxima de , mas esses valores não são viáveis na prática. Portanto, precisamos procurar o máximo dentro do domínio interior.

Passo 5

Parte d) Calcular os pontos críticos de que são interiores a .
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero.
A função é:
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas as derivadas a zero:
  1. :
Isso ocorre quando ou , ou seja, . Porém, ambos fazem parte da fronteira, não do interior.
  1. :
Isso só acontece quando , que também está na fronteira.
Conclusão: Não há pontos críticos no interior de , pois as soluções das derivadas correspondem à fronteira.

Passo 6

Parte e) Determinar os valores de e que maximizam a área da seção transversal.
Como não encontramos pontos críticos no interior e na fronteira a área tende a infinito quando se aproxima de , precisamos considerar restrições práticas para encontrar o valor máximo viável.
Considerando que uma calha com não é prática, vamos buscar o máximo dentro de limites realistas. Por exemplo, suponha que não ultrapasse 45 graus ( radianos).
Então, para :
Neste caso, a área aumenta com . Como pode ir até 5 metros, o máximo ocorre em e :

Resposta

Os valores que maximizam a área da seção transversal são metros e radianos, resultando em uma área máxima de .

Exercícios relacionados

(2/2004) Seja D = {(x, y) em R^2: x > 0, y > 0} e 12 - 6x - 8y > 0 a base do tetraedro T limitado pelos planos coordenados e pelo plano z = 12 - 6 x - 8 y, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda A: D -> R a função dada por A(x, y) = 2xy + 2(x + y)(12 - 6x - 8y). Observe que, se (x, y) é um ponto interior a D, então A(x, y) corresponde à área total das faces do paralelepípedo inscrito em T de lados x, y e z = 12 - 6 x - 8 y.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de A(x, y).
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de A(x, y) que são interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função A em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de A no domínio D.
(1/2019) Sejam D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0} e 12 - 6 x - 4 y ≥ 0 e A: D -> R a função dada por A(x, y) = 2xy + 2(x + y)(12 - 6x - 4y).
a) Esboce o conjunto D.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de A(x, y) que são interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função A em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de A no domínio D.
Calcule o volume do conjunto dado {(x, y, z) em R^3: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= e^(x+y)}.
Inverta a ordem de integração integral-1^1[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) d y] d x.