(1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica e com três lados retos. Observe que a área
da seção transversal é uma função
das medidas
e
indicadas na figura, e o domínio dessa função é o conjunto
. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de
e
que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função
.
b) Esboce e descreva a fronteira de
.
c) Determine o valor máximo de
sobre a fronteira de
.
d) Calcule os pontos críticos de
que são interiores a
.
e) Determine os valores de
e
que maximizam a área da seção. transversal.
a) Obtenha a expressão da função
b) Esboce e descreva a fronteira de
d) Calcule os pontos críticos de
e) Determine os valores de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício fala sobre fabricar uma calha a partir de uma chapa de metal com largura de 10 metros. A seção transversal dessa calha tem uma forma simétrica com três lados retos. A área dessa seção, chamada
, depende de duas medidas:
e
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que maximizam essa área, já que a vazão é proporcional a ela.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis, otimização e cálculo de derivadas parciais. Vamos dividir a resolução em partes para facilitar o entendimento.
Passo 2
Parte a) Obter a expressão da função
.
Primeiro, precisamos entender como a área
é formada pela seção transversal da calha. Como a figura não está disponível, vamos assumir que a calha tem duas inclinações iguais formando um ângulo
com a horizontal e uma base reta de comprimento
.
A área de uma figura simétrica com dois lados inclinados e uma base reta pode ser dividida em um retângulo e dois triângulos. Então, a área total
será a soma da área do retângulo e das duas áreas dos triângulos.
A área do retângulo é simplesmente
, onde
é a altura. Já a área de cada triângulo é
.
Como temos dois triângulos, a área total será:
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Considerando que
é a altura do triângulo, temos:
Substituindo na expressão da área:
Passo 3
Parte b) Esboçar e descrever a fronteira de
.
O domínio
é definido como
. Isso significa que
varia de 0 a 5 metros, e
varia de 0 a
radianos (ou 0 a 90 graus).
A fronteira de
consiste nos limites desses intervalos:
- Para
: varia de 0 a . - Para
: varia de 0 a . - Para
: varia de 0 a 5. - Para
: varia de 0 a 5.
Visualmente, se representarmos
em um plano cartesiano com
no eixo horizontal e
no eixo vertical, teremos um retângulo onde:
- A base vai de 0 a 5 no eixo
. - A altura vai de 0 a
no eixo .
Passo 4
Parte c) Determinar o valor máximo de
sobre a fronteira de
.
Para encontrar o máximo da função
na fronteira de
, vamos analisar cada uma das partes da fronteira:
- Para
:
A área é zero nesse caso.
- Para
:
Como
tende ao infinito quando
se aproxima de
, teoricamente, a área aumenta sem limite. Porém, fisicamente, a calha não pode ter uma inclinação de 90 graus, então consideramos valores limitados.
- Para
:
A área também é zero quando
.
- Para
:
Aqui,
é indefinida (tende ao infinito), indicando uma área infinita, o que não é fisicamente possível.
Conclusão: Na fronteira de
, a área atinge valores máximos conforme
se aproxima de
, mas esses valores não são viáveis na prática. Portanto, precisamos procurar o máximo dentro do domínio interior.
Passo 5
Parte d) Calcular os pontos críticos de
que são interiores a
.
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
A função é:
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas as derivadas a zero:
-
:
Isso ocorre quando
ou
, ou seja,
. Porém, ambos fazem parte da fronteira, não do interior.
-
:
Isso só acontece quando
, que também está na fronteira.
Conclusão: Não há pontos críticos no interior de
, pois as soluções das derivadas correspondem à fronteira.
Passo 6
Parte e) Determinar os valores de
e
que maximizam a área da seção transversal.
Como não encontramos pontos críticos no interior e na fronteira a área tende a infinito quando
se aproxima de
, precisamos considerar restrições práticas para encontrar o valor máximo viável.
Considerando que uma calha com
não é prática, vamos buscar o máximo dentro de limites realistas. Por exemplo, suponha que
não ultrapasse 45 graus (
radianos).
Então, para
:
Neste caso, a área aumenta com
. Como
pode ir até 5 metros, o máximo ocorre em
e
:
Resposta
Os valores que maximizam a área da seção transversal são
metros e
radianos, resultando em uma área máxima de
.
Exercícios relacionados
(2/2004) Seja
e
a base do tetraedro
limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda
a função dada por
. Observe que, se
é um ponto interior a
, então
corresponde à área total das faces do paralelepípedo inscrito em
de lados
e
.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de que são interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de no domínio
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
(1/2019) Sejam
e
e
a função dada por
.
a) Esboce o conjunto .
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de que são interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de no domínio
.
a) Esboce o conjunto
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
Calcule o volume do conjunto dado
.
Inverta a ordem de integração
.