Calcule o volume do conjunto dado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada variável (x, y, z) e aplicar as fórmulas apropriadas para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
- x varia de 0 a 1:
- y varia de 0 a 1:
- z varia de 1 até
:
Isso significa que para cada par (x, y) no quadrado [0,1]×[0,1], z vai de 1 até
.
Passo 3
O volume desejado pode ser calculado usando uma integral tripla. A fórmula geral para o volume é:
Passo 4
Vamos resolver a integral em relação a z primeiro. Integrando
de 1 a
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral dupla:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 7
Resolvendo a primeira integral:
Passo 8
Resolvendo a segunda integral:
Passo 9
Subtraindo as duas partes:
Resposta
O volume do conjunto é
.