Calcule o volume do conjunto dado {(x, y, z) em R^3: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= e^(x+y)}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada variável (x, y, z) e aplicar as fórmulas apropriadas para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
  • x varia de 0 a 1:
  • y varia de 0 a 1:
  • z varia de 1 até :
Isso significa que para cada par (x, y) no quadrado [0,1]×[0,1], z vai de 1 até .

Passo 3

O volume desejado pode ser calculado usando uma integral tripla. A fórmula geral para o volume é:

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro. Integrando de 1 a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral dupla:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 7

Resolvendo a primeira integral:

Passo 8

Resolvendo a segunda integral:

Passo 9

Subtraindo as duas partes:

Resposta

O volume do conjunto é .

Exercícios relacionados

(1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica e com três lados retos. Observe que a área A da seção transversal é uma função A = A(x, theta) das medidas x e theta indicadas na figura, e o domínio dessa função é o conjunto D = [0, 5] x [0, pi/2]. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de x e theta que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função A(x, theta).
b) Esboce e descreva a fronteira de D.
c) Determine o valor máximo de A(x, theta) sobre a fronteira de D.
d) Calcule os pontos críticos de A(x, theta) que são interiores a D.
e) Determine os valores de x e theta que maximizam a área da seção. transversal.
(2/2004) Seja D = {(x, y) em R^2: x > 0, y > 0} e 12 - 6x - 8y > 0 a base do tetraedro T limitado pelos planos coordenados e pelo plano z = 12 - 6 x - 8 y, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda A: D -> R a função dada por A(x, y) = 2xy + 2(x + y)(12 - 6x - 8y). Observe que, se (x, y) é um ponto interior a D, então A(x, y) corresponde à área total das faces do paralelepípedo inscrito em T de lados x, y e z = 12 - 6 x - 8 y.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de A(x, y).
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de A(x, y) que são interiores ao domínio D.
c) Determine o valor máximo da função A em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de A no domínio D.
Inverta a ordem de integração integral-1^1[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) d y] d x.
Inverta a ordem de integração integral0^pi4[integralSen x^cos x f(x, y) d y] d x.