Calcule o volume do conjunto dado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada variável (x, y, z) e aplicar as fórmulas apropriadas para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
- x varia de 0 a 1:
- y varia de 0 a 1:
- z varia de 1 até
:
Isso significa que para cada par (x, y) no quadrado [0,1]×[0,1], z vai de 1 até
.
Passo 3
O volume desejado pode ser calculado usando uma integral tripla. A fórmula geral para o volume é:
Passo 4
Vamos resolver a integral em relação a z primeiro. Integrando
de 1 a
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral dupla:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 7
Resolvendo a primeira integral:
Passo 8
Resolvendo a segunda integral:
Passo 9
Subtraindo as duas partes:
Resposta
O volume do conjunto é
.
Exercícios relacionados
(1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica e com três lados retos. Observe que a área
da seção transversal é uma função
das medidas
e
indicadas na figura, e o domínio dessa função é o conjunto
. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de
e
que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função .
b) Esboce e descreva a fronteira de .
a) Obtenha a expressão da função
b) Esboce e descreva a fronteira de
c) Determine o valor máximo de
sobre a fronteira de
.
d) Calcule os pontos críticos de que são interiores a
.
e) Determine os valores de e
que maximizam a área da seção. transversal.
d) Calcule os pontos críticos de
e) Determine os valores de
(2/2004) Seja
e
a base do tetraedro
limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda
a função dada por
. Observe que, se
é um ponto interior a
, então
corresponde à área total das faces do paralelepípedo inscrito em
de lados
e
.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de que são interiores ao domínio
.
c) Determine o valor máximo da função em cada um dos três segmentos de reta da fronteira de
.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de no domínio
.
b) Obtenha, caso existam, os pontos críticos de
c) Determine o valor máximo da função
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de
Inverta a ordem de integração
.
Inverta a ordem de integração
.