Calcule o volume do conjunto dado {(x, y, z) em R^3: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= e^(x+y)}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada variável (x, y, z) e aplicar as fórmulas apropriadas para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
  • x varia de 0 a 1:
  • y varia de 0 a 1:
  • z varia de 1 até :
Isso significa que para cada par (x, y) no quadrado [0,1]×[0,1], z vai de 1 até .

Passo 3

O volume desejado pode ser calculado usando uma integral tripla. A fórmula geral para o volume é:

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro. Integrando de 1 a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral dupla:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 7

Resolvendo a primeira integral:

Passo 8

Resolvendo a segunda integral:

Passo 9

Subtraindo as duas partes:

Resposta

O volume do conjunto é .

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