(2017-1) lim x pi(x-pi) tg x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no limite limx pi (x - pi) tan x. Nesse exercício, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Precisamos entender como a função tan x se comporta quando x se aproxima de pi e como o termo (x - pi) interage com ela para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com tan x quando x se aproxima de pi. Sabemos que tan x é igual a sin xcos x. Em x = pi, temos:
sin pi = 0 e cos pi = -1
Portanto, tan pi = 0-1 = 0. Isso significa que tan x tende a 0 quando x se aproxima de pi.

Passo 3

Agora, vamos ver o comportamento do termo (x - pi) quando x se aproxima de pi. Claramente, (x - pi) tende a 0 à medida que x se aproxima de pi. Então, temos que tanto (x - pi) quanto tan x estão tendendo a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo 0 times 0, que podemos resolver utilizando técnicas de cálculo de limites.

Passo 4

Para resolver o limite de uma forma indeterminada como 0 times 0, podemos reescrever a expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital. Uma maneira de fazer isso é transformar o produto em uma fração. Então, reescrevemos o limite da seguinte forma:
limx pi (x - pi) tan x = limx pi (x - pi)cot x
Aqui, usamos que tan x = 1cot x.

Passo 5

Agora, observamos que tanto o numerador (x - pi) quanto o denominador cot x tendem a 0 quando x se aproxima de pi. Isso nos dá novamente uma forma indeterminada 0/0, permitindo o uso da Regra de L’Hôpital. Segundo essa regra, derivamos o numerador e o denominador:
ddx(x - pi) = 1 e ddx(cot x) = -csc^2 x
Então, o limite se torna:
limx pi 1- csc^2 x

Passo 6

Sabemos que csc x = 1sin x, então csc^2 x = 1sin^2 x. Substituindo isso no limite, temos:
limx pi 1- csc^2 x = limx pi -sin^2 x
Como sin pi = 0, então:
-sin^2 pi = -0^2 = 0

Resposta

O limite limx pi (x - pi) tan x é igual a 0.

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