(2017-1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no limite . Nesse exercício, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Precisamos entender como a função se comporta quando se aproxima de e como o termo interage com ela para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando se aproxima de . Sabemos que é igual a . Em , temos:
Portanto, . Isso significa que tende a 0 quando se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos ver o comportamento do termo quando se aproxima de . Claramente, tende a 0 à medida que se aproxima de . Então, temos que tanto quanto estão tendendo a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , que podemos resolver utilizando técnicas de cálculo de limites.

Passo 4

Para resolver o limite de uma forma indeterminada como , podemos reescrever a expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital. Uma maneira de fazer isso é transformar o produto em uma fração. Então, reescrevemos o limite da seguinte forma:
Aqui, usamos que .

Passo 5

Agora, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando se aproxima de . Isso nos dá novamente uma forma indeterminada , permitindo o uso da Regra de L’Hôpital. Segundo essa regra, derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 6

Sabemos que , então . Substituindo isso no limite, temos:
Como , então:

Resposta

O limite é igual a .

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