(2017-1)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no limite
. Nesse exercício, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Precisamos entender como a função
se comporta quando
se aproxima de
e como o termo
interage com ela para encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
se aproxima de
. Sabemos que
é igual a
. Em
, temos:
Portanto,
. Isso significa que
tende a 0 quando
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos ver o comportamento do termo
quando
se aproxima de
. Claramente,
tende a 0 à medida que
se aproxima de
. Então, temos que tanto
quanto
estão tendendo a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, que podemos resolver utilizando técnicas de cálculo de limites.
Passo 4
Para resolver o limite de uma forma indeterminada como
, podemos reescrever a expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital. Uma maneira de fazer isso é transformar o produto em uma fração. Então, reescrevemos o limite da seguinte forma:
Aqui, usamos que
.
Passo 5
Agora, observamos que tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a 0 quando
se aproxima de
. Isso nos dá novamente uma forma indeterminada
, permitindo o uso da Regra de L’Hôpital. Segundo essa regra, derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 6
Sabemos que
, então
. Substituindo isso no limite, temos:
Como
, então:
Resposta
O limite
é igual a
.
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