(1/2019) Encontre todos os valores extremos da função
no conjunto
e classifique-os como máximo ou mínimo.
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde precisamos encontrar todos os valores extremos da função
dentro de um conjunto definido por
. Basicamente, estamos lidando com otimização de funções de duas variáveis dentro de uma região específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar pontos críticos e analisar os limites dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função dentro da região D. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Os pontos críticos ocorrem quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro da região D. Substituindo
e
na inequação:
Sim, o ponto
está dentro da região D.
Passo 4
Em seguida, precisamos analisar os valores da função nos limites da região D. A fronteira de D é dada por
. Podemos parametrizar essa elipse para facilitar os cálculos. Vamos resolver para
em termos de
:
Então, a função na fronteira fica:
Passo 5
Para encontrar os valores extremos na fronteira, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Substituindo
na equação da fronteira para encontrar
:
Então, os pontos são
e
.
Passo 7
Calculando os valores de
nesses pontos:
Passo 8
Agora, avaliamos o ponto crítico
:
Resposta
Os valores extremos da função
no conjunto
são:
- Máximo absoluto:
nos pontos e . - Mínimo absoluto:
nos pontos e .
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.