(1/2019) Encontre todos os valores extremos da função f(x, y) = x * y no conjunto D = {(x, y) pertencente a R^2 : x^2 + 4y^2 <= 8} e classifique-os como máximo ou mínimo.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisamos encontrar todos os valores extremos da função dentro de um conjunto definido por . Basicamente, estamos lidando com otimização de funções de duas variáveis dentro de uma região específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar pontos críticos e analisar os limites dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função dentro da região D. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Os pontos críticos ocorrem quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro da região D. Substituindo e na inequação:
Sim, o ponto está dentro da região D.

Passo 4

Em seguida, precisamos analisar os valores da função nos limites da região D. A fronteira de D é dada por . Podemos parametrizar essa elipse para facilitar os cálculos. Vamos resolver para em termos de :
Então, a função na fronteira fica:

Passo 5

Para encontrar os valores extremos na fronteira, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Substituindo na equação da fronteira para encontrar :
Então, os pontos são e .

Passo 7

Calculando os valores de nesses pontos:

Passo 8

Agora, avaliamos o ponto crítico :

Resposta

Os valores extremos da função no conjunto são:
  • Máximo absoluto: nos pontos e .
  • Mínimo absoluto: nos pontos e .

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