Determine as dimensões de uma caixa em forma de paralelepípedo reto aberta no topo com volume de 32 m² e que requer a quantidade mínima de material para construção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar as dimensões de uma caixa com forma de paralelepípedo reto, sem tampa, que tem um volume de e que usa a menor quantidade de material possível na construção. Isso é um problema de otimização, onde queremos minimizar a quantidade de material usado, ou seja, minimizar a área superficial da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis para as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • x = comprimento da caixa
  • y = largura da caixa
  • h = altura da caixa

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:

E esse volume é igual a , então temos:

Passo 4

Como queremos minimizar a quantidade de material, precisamos minimizar a área superficial da caixa. Como ela é aberta no topo, a área superficial S é:

Passo 5

Agora, vamos usar a restrição do volume para reduzir o número de variáveis. Podemos resolver a equação do volume para uma das variáveis, por exemplo, h:

Passo 6

Substituindo h na equação da área superficial, temos:

Simplificando:

Passo 7

Para minimizar S, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. Vamos derivar S em relação a x:

E em relação a y:

Passo 8

Resolvendo as equações:
Substituindo a primeira na segunda:

Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 64:

Então:

Descartamos x = 0 porque não faria sentido, então:

Passo 9

Usando na equação :

Passo 10

Agora, encontramos h usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material são:
  • Comprimento
  • Largura
  • Altura

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