Determine as dimensões de uma caixa em forma de paralelepípedo reto aberta no topo com volume de
e que requer a quantidade mínima de material para construção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar as dimensões de uma caixa com forma de paralelepípedo reto, sem tampa, que tem um volume de
e que usa a menor quantidade de material possível na construção. Isso é um problema de otimização, onde queremos minimizar a quantidade de material usado, ou seja, minimizar a área superficial da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis para as dimensões da caixa. Vamos chamar:
-
= comprimento da caixa -
= largura da caixa -
= altura da caixa
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
E esse volume é igual a
Passo 4
Como queremos minimizar a quantidade de material, precisamos minimizar a área superficial da caixa. Como ela é aberta no topo, a área superficial
é:
Passo 5
Agora, vamos usar a restrição do volume para reduzir o número de variáveis. Podemos resolver a equação do volume para uma das variáveis, por exemplo,
:
Passo 6
Substituindo
na equação da área superficial, temos:
Simplificando:
Passo 7
Para minimizar
, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e
e igualá-las a zero. Vamos derivar
em relação a
:
E em relação a
Passo 8
Resolvendo as equações:
Substituindo a primeira na segunda:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 64:
Então:
Descartamos
Passo 9
Usando
na equação
:
Passo 10
Agora, encontramos
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material são:
- Comprimento
- Largura
- Altura