(2/2018) Considere que
represente a distribuição de temperatura no plano e seja
e
. Determine os pontos de
em que a temperatura é máxima e os pontos de
em que a temperatura é mínima. Determine, também, as temperaturas máxima e mínima em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de temperatura
que descreve a temperatura no plano. O domínio
é definido pelas condições
,
e
. Precisamos encontrar onde a temperatura é máxima e mínima dentro desse domínio
, além de determinar os valores dessas temperaturas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o domínio
. As condições
e
significam que estamos trabalhando na região onde
é pelo menos igual a
, e ambos são não negativos. A condição
limita essa região ao interior e na fronteira do triângulo formado pelos pontos onde
.
Passo 3
Para encontrar os pontos onde a temperatura é máxima e mínima, precisamos analisar a função
dentro de
. Isso envolve encontrar os pontos críticos da função e também verificar os valores nas fronteiras do domínio.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se esse ponto
está dentro do domínio
. Vamos conferir:
-
✔️ -
✔️ -
✔️
Portanto, o ponto
está dentro de
.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a temperatura nesse ponto:
Passo 8
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores de
nas fronteiras do domínio
.
Primeira fronteira:
, com
Para encontrar os máximos e mínimos nessa fronteira, derivamos em relação a
:
Igualamos a zero:
Então, o ponto
:
Segunda fronteira:
, com
(pois
)
Derivada em relação a
:
Resolvendo
, encontramos os pontos críticos nessa fronteira.
Terceira fronteira:
, com
Simplificando e encontrando os extremos nessa fronteira.
Passo 9
Após analisar todas as fronteiras, comparamos os valores de
nos pontos críticos internos e nas fronteiras para determinar os valores máximo e mínimo.
Resposta
A temperatura máxima em
ocorre no ponto
com
, e a temperatura mínima ocorre no ponto
com
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais e os valores máximo e mínimo globais das seguintes funções nos domínios indicados:
a) , com
e
.
b) , com
.
a)
b)
(2/2018) Considere que
representa uma distribuição de temperatura no plano e seja
. Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções (isto é, determine
)?
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que estão mais afastados do ponto
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no conjunto
e classifique-os como máximo ou mínimo.