(2/2018) Considere que T(x, y) = 4 + 2x + 3y - x^2 - y^3 represente a distribuição de temperatura no plano e seja D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ x} e x + y <= 4. Determine os pontos de D em que a temperatura é máxima e os pontos de D em que a temperatura é mínima. Determine, também, as temperaturas máxima e mínima em D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de temperatura que descreve a temperatura no plano. O domínio é definido pelas condições , e . Precisamos encontrar onde a temperatura é máxima e mínima dentro desse domínio , além de determinar os valores dessas temperaturas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o domínio . As condições e significam que estamos trabalhando na região onde é pelo menos igual a , e ambos são não negativos. A condição limita essa região ao interior e na fronteira do triângulo formado pelos pontos onde .

Passo 3

Para encontrar os pontos onde a temperatura é máxima e mínima, precisamos analisar a função dentro de . Isso envolve encontrar os pontos críticos da função e também verificar os valores nas fronteiras do domínio.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .

Passo 6

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do domínio . Vamos conferir:
  • ✔️
  • ✔️
  • ✔️
Portanto, o ponto está dentro de .

Passo 7

Agora, vamos avaliar a temperatura nesse ponto:

Passo 8

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores de nas fronteiras do domínio .
Primeira fronteira: , com
Para encontrar os máximos e mínimos nessa fronteira, derivamos em relação a :
Igualamos a zero:
Então, o ponto :
Segunda fronteira: , com (pois )
Derivada em relação a :
Resolvendo , encontramos os pontos críticos nessa fronteira.
Terceira fronteira: , com
Simplificando e encontrando os extremos nessa fronteira.

Passo 9

Após analisar todas as fronteiras, comparamos os valores de nos pontos críticos internos e nas fronteiras para determinar os valores máximo e mínimo.

Resposta

A temperatura máxima em ocorre no ponto com , e a temperatura mínima ocorre no ponto com .

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