Determine os pontos da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 36 que estão mais afastados do ponto 1, 2, 2 e que estão mais próximos. Quais são as distâncias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos na esfera que estão mais afastados e mais próximos do ponto . Vamos usar conceitos de geometria espacial e otimização para resolver isso. Precisaremos saber como calcular a distância entre dois pontos no espaço e entender um pouco sobre esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço 3D. A fórmula para a distância entre os pontos e é:

Passo 3

No nosso caso, queremos a distância entre o ponto e qualquer ponto na esfera . Vamos chamar essa distância de :

Passo 4

Para facilitar a resolução, podemos minimizar e maximizar o quadrado da distância, já que a função raiz é crescente. Então, queremos minimizar e maximizar:

Passo 5

Expandindo :
Mas sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Queremos minimizar e maximizar , sujeita à restrição . Isso pode ser feito usando Lagrangeanos, mas de forma mais simples, notamos que a distância será mínima quando o ponto na esfera estiver “na direção” do ponto a partir da origem, e máxima quando estiver na direção oposta.

Passo 7

Vamos considerar um vetor na direção de . A direção oposta seria . Como a esfera tem raio 6, os pontos mais próximo e mais afastado serão:
Ponto mais próximo:
Ponto mais afastado:

Passo 8

Agora, vamos calcular as distâncias:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na esfera mais próximos do ponto são com distância 3, e mais afastados são com distância 9.

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