Determine os pontos da esfera
que estão mais afastados do ponto
e que estão mais próximos. Quais são as distâncias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos na esfera
que estão mais afastados e mais próximos do ponto
. Vamos usar conceitos de geometria espacial e otimização para resolver isso. Precisaremos saber como calcular a distância entre dois pontos no espaço e entender um pouco sobre esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço 3D. A fórmula para a distância entre os pontos
e
é:
Passo 3
No nosso caso, queremos a distância entre o ponto
e qualquer ponto
na esfera
. Vamos chamar essa distância de
:
Passo 4
Para facilitar a resolução, podemos minimizar e maximizar o quadrado da distância, já que a função raiz é crescente. Então, queremos minimizar e maximizar:
Passo 5
Expandindo
:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Queremos minimizar e maximizar
, sujeita à restrição
. Isso pode ser feito usando Lagrangeanos, mas de forma mais simples, notamos que a distância será mínima quando o ponto na esfera estiver “na direção” do ponto
a partir da origem, e máxima quando estiver na direção oposta.
Passo 7
Vamos considerar um vetor na direção de
. A direção oposta seria
. Como a esfera tem raio 6, os pontos mais próximo e mais afastado serão:
Ponto mais próximo:
Ponto mais afastado:
Passo 8
Agora, vamos calcular as distâncias:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos na esfera
mais próximos do ponto
são
com distância 3, e mais afastados são
com distância 9.