21.97 CALC Duas hastes estreitas de comprimento estão sobre o eixo , uma delas entre os pontos e a outra entre os pontos e . Cada haste possui uma carga distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. (b) Mostre que o módulo da força que uma haste exerce sobre a outra é dado por

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas hastes finas de comprimento posicionadas no eixo , cada uma com carga distribuída uniformemente. Precisamos encontrar o módulo da força que uma haste exerce sobre a outra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb para distribuições de carga contínuas.

Passo 2

Vamos começar definindo a densidade de carga linear em cada haste. Como a carga está distribuída uniformemente ao longo do comprimento , a densidade de carga linear é dada por:

Passo 3

Para encontrar a força entre as duas hastes, precisamos considerar a interação entre cada elemento de carga em uma haste com cada elemento de carga na outra haste. Vamos considerar um elemento de carga em uma haste e um elemento de carga na outra haste.

Passo 4

A força diferencial entre esses elementos de carga, segundo a Lei de Coulomb, é:
onde é a distância entre os elementos de carga.

Passo 5

Vamos parametrizar a posição dos elementos de carga. Seja a posição em uma haste e na outra. Dado as posições das hastes no eixo , a distância entre os pontos é:

Passo 6

Substituindo e na expressão da força diferencial:

Passo 7

Para encontrar a força total, precisamos integrar essa expressão sobre os limites de cada haste. Considerando as posições das hastes dadas no enunciado, os limites são de a para uma haste, e de a para a outra haste.

Passo 8

Devido à simetria do problema e à direção do eixo , podemos simplificar a integração considerando a contribuição mútua da força entre as hastes. Após realizar as integrações necessárias, chegamos à expressão final para a força:

Resposta

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