21.97 CALC Duas hastes estreitas de comprimento
estão sobre o eixo
, uma delas entre os pontos
e
a outra entre os pontos
e
. Cada haste possui uma carga
distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. (b) Mostre que o módulo da força que uma haste exerce sobre a outra é dado por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas hastes finas de comprimento
posicionadas no eixo
, cada uma com carga
distribuída uniformemente. Precisamos encontrar o módulo da força que uma haste exerce sobre a outra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb para distribuições de carga contínuas.
Passo 2
Vamos começar definindo a densidade de carga linear em cada haste. Como a carga
está distribuída uniformemente ao longo do comprimento
, a densidade de carga linear
é dada por:
Passo 3
Para encontrar a força entre as duas hastes, precisamos considerar a interação entre cada elemento de carga em uma haste com cada elemento de carga na outra haste. Vamos considerar um elemento de carga
em uma haste e um elemento de carga
na outra haste.
Passo 4
A força diferencial entre esses elementos de carga, segundo a Lei de Coulomb, é:
onde
é a distância entre os elementos de carga.
Passo 5
Vamos parametrizar a posição dos elementos de carga. Seja
a posição em uma haste e
na outra. Dado as posições das hastes no eixo
, a distância
entre os pontos é:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão da força diferencial:
Passo 7
Para encontrar a força total, precisamos integrar essa expressão sobre os limites de cada haste. Considerando as posições das hastes dadas no enunciado, os limites são de
a
para uma haste, e de
a
para a outra haste.
Passo 8
Devido à simetria do problema e à direção do eixo
, podemos simplificar a integração considerando a contribuição mútua da força entre as hastes. Após realizar as integrações necessárias, chegamos à expressão final para a força: