Uma onda de água deslocando-se em linha reta em um lago é descrita pela equação
onde y é o deslocamento perpendicular à superfície plana do lago. (a) Quanto tempo é necessário para que um padrão de onda completo passe por um pescador em um banco ancorado, e que distância horizontal a crista da onda percorre nesse intervalo? (b) Qual é o número de onda e quantas ondas passam pelo pescador a cada segundo? © Com que velocidade a crista da onda passa pelo pescador?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação que descreve uma onda de água num lago, onde
representa o deslocamento da água em relação à superfície. Precisamos usar conceitos de ondas, como período, frequência, número de onda e velocidade de propagação, para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Parte (a): Tempo para que um padrão de onda completo passe pelo pescador e a distância que a crista da onda percorre nesse tempo.
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da equação da onda:
Aqui:
-
é a amplitude da onda. -
é o número de onda. -
é a frequência angular.
1. Encontrando o período
:
O período é o tempo que leva para uma oscilação completa da onda. A relação entre o período
e a frequência angular
é:
Substituindo os valores:
2. Calculando a velocidade de propagação
:
A velocidade com que a onda se propaga está relacionada por:
Substituindo os valores:
3. Determinando a distância percorrida pela crista da onda:
A distância que a crista da onda percorre no período
é:
Passo 3
Parte (b): Número de onda e quantas ondas passam pelo pescador a cada segundo.
1. Número de onda
:
Já temos o número de onda na equação:
2. Encontrando o comprimento de onda
:
A relação entre o número de onda
e o comprimento de onda
é:
Substituindo:
3. Calculando a frequência
:
A frequência
indica quantas ondas passam pelo pescador por segundo. Ela está relacionada pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
Parte ©: Velocidade com que a crista da onda passa pelo pescador.
A velocidade com que a crista da onda se move é a mesma velocidade de propagação da onda, que já calculamos:
Resposta
(a) O tempo necessário é aproximadamente 1,014 segundos e a crista da onda percorre cerca de 15,34 cm nesse intervalo.
(b) O número de onda é 0,410 rad/cm e aproximadamente 0,986 ondas passam pelo pescador a cada segundo.
© A velocidade da crista da onda é aproximadamente 15,12 cm/s.