Uma onda de água deslocando-se em linha reta em um lago é descrita pela equação
y(x, t)=(2,75 cm) cos [(0,410 rad / cm) x+(6,20 rad / s) t]
onde y é o deslocamento perpendicular à superfície plana do lago. (a) Quanto tempo é necessário para que um padrão de onda completo passe por um pescador em um banco ancorado, e que distância horizontal a crista da onda percorre nesse intervalo? (b) Qual é o número de onda e quantas ondas passam pelo pescador a cada segundo? © Com que velocidade a crista da onda passa pelo pescador?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação que descreve uma onda de água num lago, onde representa o deslocamento da água em relação à superfície. Precisamos usar conceitos de ondas, como período, frequência, número de onda e velocidade de propagação, para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Parte (a): Tempo para que um padrão de onda completo passe pelo pescador e a distância que a crista da onda percorre nesse tempo.
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da equação da onda:
y(x, t) = (2,75 cm) cos[(0,410 rad/cm) x + (6,20 rad/s) t]
Aqui:
  • T = 2piomega é a amplitude da onda.
  • T = 2pi6,20 approx 6,28326,20 approx 1,014 segundos é o número de onda.
  • v = omegak é a frequência angular.
1. Encontrando o período v = 6,200,410 approx 15,12 cm/s :
O período é o tempo que leva para uma oscilação completa da onda. A relação entre o período d = v times T = 15,12 times 1,014 approx 15,34 cm e a frequência angular é:
Substituindo os valores:
2. Calculando a velocidade de propagação :
A velocidade com que a onda se propaga está relacionada por:
Substituindo os valores:
3. Determinando a distância percorrida pela crista da onda:
A distância que a crista da onda percorre no período é:

Passo 3

Parte (b): Número de onda e quantas ondas passam pelo pescador a cada segundo.
1. Número de onda k = 0,410 rad/cm :
Já temos o número de onda na equação:
k = 2pilambda Rightarrow lambda = 2pik
2. Encontrando o comprimento de onda lambda = 6,28320,410 approx 15,34 cm :
A relação entre o número de onda f = vlambda e o comprimento de onda f = 15,1215,34 approx 0,986 ondas/s é:
Substituindo:
3. Calculando a frequência :
A frequência indica quantas ondas passam pelo pescador por segundo. Ela está relacionada pela fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Parte ©: Velocidade com que a crista da onda passa pelo pescador.
A velocidade com que a crista da onda se move é a mesma velocidade de propagação da onda, que já calculamos:
v approx 15,12 cm/s

Resposta

(a) O tempo necessário é aproximadamente 1,014 segundos e a crista da onda percorre cerca de 15,34 cm nesse intervalo.
(b) O número de onda é 0,410 rad/cm e aproximadamente 0,986 ondas passam pelo pescador a cada segundo.
© A velocidade da crista da onda é aproximadamente 15,12 cm/s.

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