Determine o campo elétrico produzido por um disco com raio
que possui uma densidade superficial de carga
(carga por unidade de área) positiva uniforme em um ponto situado sobre o eixo do disco a uma distância
de seu centro. Suponha
positivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o campo elétrico criado por um disco carregado com densidade superficial de carga uniforme
, num ponto que está ao longo do eixo do disco, a uma distância
do centro. Aqui, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga. Precisaremos integrar para somar as contribuições de cada parte do disco ao campo total.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o disco como se fosse composto por anéis concêntricos muito finos. Cada anel tem um raio
e uma espessura
. A ideia é calcular o campo elétrico gerado por um desses anéis no ponto de interesse e depois integrar todos esses campos para obter o campo total do disco.
Passo 3
Para um anel de raio
e espessura
, a área desse anel é
. A carga nesse anel é então
.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse anel no ponto a uma distância
ao longo do eixo é dado por:
Aqui, usamos a fórmula do campo elétrico para um anel carregado.
Passo 5
Substituindo
na expressão do campo, temos:
Passo 6
Agora, para achar o campo total
, integramos
de
até
:
Passo 7
Fazendo a substituição
, derivando, temos
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Passo 8
Integrando
, obtemos:
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
O campo elétrico no ponto a uma distância
do centro do disco é: