Determine o campo elétrico produzido por um disco com raio R que possui uma densidade superficial de carga sigma (carga por unidade de área) positiva uniforme em um ponto situado sobre o eixo do disco a uma distância x de seu centro. Suponha x positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o campo elétrico criado por um disco carregado com densidade superficial de carga uniforme sigma, num ponto que está ao longo do eixo do disco, a uma distância x do centro. Aqui, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga. Precisaremos integrar para somar as contribuições de cada parte do disco ao campo total.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco como se fosse composto por anéis concêntricos muito finos. Cada anel tem um raio r e uma espessura dr. A ideia é calcular o campo elétrico gerado por um desses anéis no ponto de interesse e depois integrar todos esses campos para obter o campo total do disco.

Passo 3

Para um anel de raio r e espessura dr, a área desse anel é dA = 2pi r dr. A carga nesse anel é então dq = sigma dA = sigma cdot 2pi r dr.

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse anel no ponto a uma distância x ao longo do eixo é dado por:
dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot x(x^2 + r^2)^3/2
Aqui, usamos a fórmula do campo elétrico para um anel carregado.

Passo 5

Substituindo dq na expressão do campo, temos:
dE = 14pivarepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r dr cdot x(x^2 + r^2)^3/2 = sigma x2varepsilon0 cdot r dr(x^2 + r^2)^3/2

Passo 6

Agora, para achar o campo total E, integramos dE de r = 0 até r = R:
E = integral0^R sigma x2varepsilon0 cdot r dr(x^2 + r^2)^3/2

Passo 7

Fazendo a substituição u = x^2 + r^2, derivando, temos du = 2r dr, ou seja, r dr = du2. Assim, a integral fica:
E = sigma x4varepsilon0 integralx^2^x^2 + R^2 u^-3/2 du

Passo 8

Integrando u^-3/2, obtemos:
integral u^-3/2 du = -2u^-1/2
Aplicando os limites de integração:
E = sigma x4varepsilon0 [ -2u^-1/2 ]x^2^x^2 + R^2 = sigma x4varepsilon0 ( -2raizx^2 + R^2 + 2x )

Passo 9

Simplificando a expressão:
E = sigma x4varepsilon0 cdot 2x ( 1 - xraizx^2 + R^2 ) = sigma2varepsilon0 ( 1 - xraizx^2 + R^2 )

Resposta

O campo elétrico no ponto a uma distância x do centro do disco é:
E = sigma2varepsilon0 ( 1 - xraizx^2 + R^2 )

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