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Sejam e os subespaços das matrizes simétricas e antissimétricas de ordem 3, respectivamente. Exiba uma base para e uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para dois subespaços: , que é o conjunto das matrizes simétricas de ordem 3, e , que é o conjunto das matrizes antissimétricas de ordem 3. A gente vai precisar entender o que são matrizes simétricas e antissimétricas, além de saber como formar uma base para esses espaços. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos estão dispostos de forma que simétricos em relação à diagonal principal sejam iguais.
Por exemplo, em uma matriz 3x3, se temos:
Note que os elementos fora da diagonal (b, c, e) são repetidos simetricamente.
Passo 3
Agora, uma matriz antissimétrica (ou skewsymmetric) é aquela em que A = -A^T. Isso implica que todos os elementos da diagonal principal têm que ser zero, porque aii = -aii só é possível se aii = 0. Além disso, os elementos fora da diagonal satisfazem aij = -aji.
Por exemplo:
W = 0 & b & c -b & 0 & d -c & -d & 0
Aqui, b, c, d são quaisquer números reais, e os elementos fora da diagonal se anulam de forma antissimétrica.
Passo 4
Agora que entendemos o que são matrizes simétricas e antissimétricas, vamos construir uma base para cada um desses subespaços.
Base para U (matrizes simétricas 3x3):
Como uma matriz simétrica 3x3 tem 6 elementos independentes (três na diagonal e três acima da diagonal que se refletem abaixo), precisamos de 6 matrizes que cubram todas essas possibilidades.
Essas 6 matrizes formam uma base para U porque qualquer matriz simétrica 3x3 pode ser escrita como uma combinação linear delas.
Passo 5
Base para W (matrizes antissimétricas 3x3):
Em uma matriz antissimétrica 3x3, apenas os elementos acima da diagonal são independentes, já que os abaixo são suas oposições. Temos 3 elementos independentes, então precisamos de 3 matrizes base.
Essas 3 matrizes formam uma base para W porque qualquer matriz antissimétrica 3x3 pode ser expressa como uma combinação linear delas.
Resposta
Uma base para U é composta pelas matrizes S1, S2, S3, S4, S5 e S6 conforme definidas acima.
Uma base para W é composta pelas matrizes A1, A2 e A3 conforme definidas acima.