Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados: (0,0),(1,1), a=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! A gente precisa encontrar as equações de elipses que têm os focos em e , e cujo semieixo maior mede 3 unidades. Vamos mergulhar no mundo das elipses, que faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender o que são os focos, o semieixo maior e como eles se relacionam na fórmula da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é constante e igual a , onde é o semieixo maior. Aqui, , então essa soma será .

Passo 3

Vamos encontrar a distância entre os dois focos para determinar a posição dos focos em relação ao centro da elipse. A distância 2c = raiz(1-0)^2 + (1-0)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 entre os focos e é calculada pela fórmula da distância:
Então, .

Passo 4

Sabemos que em uma elipse, a relação entre o semieixo maior c^2 = a^2 - b^2 , o semieixo menor (raiz22)^2 = 3^2 - b^2 24 = 9 - b^2 12 = 9 - b^2 b^2 = 9 - 12 b^2 = 172 b = raiz172 e é dada por:
Vamos substituir os valores que temos:

Passo 5

Agora, vamos determinar o centro da elipse. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Calculando:
Centro ( 0+12, 0+12 ) = ( 12, 12 )
Então, o centro da elipse é .

Passo 6

Como os focos não estão alinhados com os eixos coordenados, a elipse está rotacionada. Para encontrar a equação da elipse, precisamos determinar o ângulo de rotação. Os focos ligam a direção da rotação.
A inclinação da linha que passa pelos focos m = 1 - 01 - 0 = 1 Então, o ângulo theta = 45^circ e é:
ãâ

Passo 7

Com todas essas informações, a equação geral de uma elipse rotacionada é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde (x - 12)^29 + (y - 12)^2172 = 1 é o centro da elipse.
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação das elipses é:
(x - 12)^29 + (y - 12)^2172 = 1

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