Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! A gente precisa encontrar as equações de elipses que têm os focos em
e
, e cujo semieixo maior
mede 3 unidades. Vamos mergulhar no mundo das elipses, que faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender o que são os focos, o semieixo maior e como eles se relacionam na fórmula da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é constante e igual a
, onde
é o semieixo maior. Aqui,
, então essa soma será
.
Passo 3
Vamos encontrar a distância entre os dois focos para determinar a posição dos focos em relação ao centro da elipse. A distância
entre os focos
e
é calculada pela fórmula da distância:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que em uma elipse, a relação entre o semieixo maior
, o semieixo menor
e
é dada por:
Vamos substituir os valores que temos:
Passo 5
Agora, vamos determinar o centro da elipse. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Calculando:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 6
Como os focos não estão alinhados com os eixos coordenados, a elipse está rotacionada. Para encontrar a equação da elipse, precisamos determinar o ângulo de rotação. Os focos ligam a direção da rotação.
A inclinação da linha que passa pelos focos
e
é:
Passo 7
Com todas essas informações, a equação geral de uma elipse rotacionada é:
Onde
é o centro da elipse.
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação das elipses é:
Exercícios relacionados
Dados os subespaços vetoriais
,
e
, mostre que:
c) .
c)
Sabendo que
é uma transformação linear cujo núcleo é dado por
encontre a dimensão da imagem de
.
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Sejam e
os subespaços das matrizes simétricas e antissimétricas de ordem 3, respectivamente. Exiba uma base para
e uma base para
.
Sejam
Dadas
e
a matriz identidade de ordem 2 .
(a) Se existir, determine a matriz tal que:
(a) Se existir, determine a matriz