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Determine uma base para o subespaço vetorial de definido por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base para um subespaço vetorial de polinômios de grau até 3, . Esse subespaço é definido por duas condições:
Vamos precisar entender o que essas condições significam e como elas restringem os polinômios que pertencem a . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo, como bases de espaços vetoriais e derivadas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos representar um polinômio geral de grau até 3:
onde são coeficientes reais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições dadas no enunciado. A primeira condição é . Vamos substituir no polinômio:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
A segunda condição é . Primeiro, vamos calcular :
Agora, calculamos a derivada de :
Substituindo :
Somando e :
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para expressar alguns coeficientes em termos de outros.
Passo 6
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, temos:
Passo 7
Vamos expressar o polinômio em termos de e , que serão nossos parâmetros livres:
Passo 8
Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Portanto, esses dois polinômios formam uma base para .