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Determine uma base para o subespaço vetorial de P3(R) definido por:
S=p(x) in P3(R) mid p(-1)+p^prime(-1)=0 e p(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base para um subespaço vetorial de polinômios de grau até 3, . Esse subespaço é definido por duas condições:
Vamos precisar entender o que essas condições significam e como elas restringem os polinômios que pertencem a . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo, como bases de espaços vetoriais e derivadas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos representar um polinômio geral de grau até 3:
p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3
onde são coeficientes reais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições dadas no enunciado. A primeira condição é p(1) = a0 + a1 (1) + a2 (1)^2 + a3 (1)^3 = a0 + a1 + a2 + a3 = 0 . Vamos substituir a0 + a1 + a2 + a3 = 0 no polinômio:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 4

A segunda condição é p(-1) = a0 + a1 (-1) + a2 (-1)^2 + a3 (-1)^3 = a0 - a1 + a2 - a3 . Primeiro, vamos calcular p'(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x^2 :
p'(-1) = a1 + 2a2 (-1) + 3a3 (-1)^2 = a1 - 2a2 + 3a3
Agora, calculamos a derivada de a0 - a1 + a2 - a3 + a1 - 2a2 + 3a3 = a0 - a2 + 2a3 = 0 :
a0 - a2 + 2a3 = 0
Substituindo :
Somando e :
Isso nos dá a segunda equação:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com quatro incógnitas:
a0 + a1 + a2 + a3 = 0 a0 - a2 + 2a3 = 0
Vamos resolver esse sistema para expressar alguns coeficientes em termos de outros.

Passo 6

Vamos resolver a segunda equação para a0 = a2 - 2a3 :
(a2 - 2a3) + a1 + a2 + a3 = 0 2a2 - a3 + a1 = 0 a1 = -2a2 + a3
Agora, substituímos a0 = a2 - 2a3 a1 = -2a2 + a3 na primeira equação:
Agora, temos:

Passo 7

Vamos expressar o polinômio p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 = (a2 - 2a3) + (-2a2 + a3)x + a2 x^2 + a3 x^3 = a2 (1 - 2x + x^2) + a3 (-2 + x + x^3) em termos de e , que serão nossos parâmetros livres:

Passo 8

Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Portanto, esses dois polinômios formam uma base para .

Resposta

Uma base para o subespaço , 1 - 2x + x^2,; -2 + x + x^3 , é:

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