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Seja v=(3,1,5) in R^3 e considere as bases
B=(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0) e B^prime=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)
(a) Encontre as coordenadas de v em relação às bases B e B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um vetor no espaço tridimensional e duas bases diferentes, e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de em relação a cada uma dessas bases. Para isso, vamos usar o conceito de representação de vetores em diferentes bases, que envolve expressar como uma combinação linear dos vetores das bases.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de v = c1 cdot (0,1,0) + c2 cdot (0,0,1) + c3 cdot (1,0,0) em relação à base .
Isso significa que queremos encontrar escalares tais que:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
(3, 1, 5) = c1 cdot (0,1,0) + c2 cdot (0,0,1) + c3 cdot (1,0,0)
(3, 1, 5) = (0 cdot c1 + 0 cdot c2 + 1 cdot c3, 1 cdot c1 + 0 cdot c2 + 0 cdot c3, 0 cdot c1 + 1 cdot c2 + 0 cdot c3)
(3, 1, 5) = (c3, c1, c2)

Passo 4

Agora, igualamos componente a componente:
c3 = 3
c1 = 1
c2 = 5

Passo 5

Portanto, as coordenadas de [v]B = 1 5 3 em relação à base são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas de v = d1 cdot (1,1,0) + d2 cdot (0,1,1) + d3 cdot (1,0,1) em relação à base .
Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 7

Expandindo a combinação linear:
(3, 1, 5) = d1 cdot (1,1,0) + d2 cdot (0,1,1) + d3 cdot (1,0,1)
(3, 1, 5) = (d1 + d3, d1 + d2, d2 + d3)

Passo 8

Agora, igualamos componente a componente para formar um sistema de equações:
d1 + d3 = 3 d1 + d2 = 1 d2 + d3 = 5

Passo 9

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
d1 = 1 - d2
Substituindo na primeira equação:
1 - d2 + d3 = 3 d3 = 3 - 1 + d2 d3 = 2 + d2
Agora, substituindo d2 + (2 + d2) = 5 2d2 + 2 = 5 2d2 = 3 d2 = 32 na terceira equação:
d1 = 1 - 32 = -12
Então,
d3 = 2 + 32 = 72

Resposta

As coordenadas de [v]B = 1 5 3 e [v]B' = -12 32 72 são:

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