Determine dois vetores perpediculares, não nulos, contidos no plano .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar dois vetores não nulos que estejam no plano definido pela equação e que sejam perpendiculares entre si. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como vetores no plano e a condição de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar os vetores que pertencem ao plano . Um vetor no plano satisfaz essa equação, ou seja, suas coordenadas devem obedecer . Podemos escolher valores para duas das coordenadas e resolver para a terceira para obter vetores no plano.
Por exemplo, se escolhermos e , então:
Portanto, um dos vetores no plano pode ser:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um segundo vetor no plano que seja perpendicular a 1 0 1. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar de a b c e 1 cdot a + 0 cdot b + 1 cdot c = a + c = 0 é:
a + c = 0 implies c = -a
Então, temos a condição:
Passo 4
Além disso, como a + 2b - c = 0 está no plano, deve satisfazer a equação a + 2b - (-a) = 2a + 2b = 0 implies a + b = 0 implies b = -a :
v2 = 1 -1 -1
Substituindo :
Assim, as coordenadas de são . Podemos escolher para simplificar, então:
Resposta
Dois vetores perpendiculares, não nulos, contidos no plano v1 = 1 0 1 e v2 = 1 -1 -1 são: