Determine a interseção da reta passando por (1,3,-1) e na direção de (-2,1,1) com o plano 2 x+3 y-z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente encontrar o ponto onde uma reta, que passa pelo ponto (1,3,-1) e tem direção (-2,1,1), intercepta o plano dado pela equação 2x + 3y - z = 1. Vamos usar Geometria Analítica para isso, e vamos precisar montar a equação paramétrica da reta e substituir na equação do plano para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Sabemos que uma reta pode ser representada assim:
x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
Onde (x0, y0, z0) é um ponto da reta, (a, b, c) é o vetor de direção, e t é um parâmetro.
No nosso caso, o ponto é (1,3,-1) e o vetor de direção é (-2,1,1). Então, a equação paramétrica fica:
x = 1 - 2t y = 3 + t z = -1 + t

Passo 3

Agora, vamos substituir essas equações paramétricas na equação do plano 2x + 3y - z = 1. Substituindo cada coordenada:
2(1 - 2t) + 3(3 + t) - (-1 + t) = 1
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de t.

Passo 4

Vamos expandir e simplificar:
2 cdot 1 - 2 cdot 2t + 3 cdot 3 + 3 cdot t - (-1) + (-t) = 1 2 - 4t + 9 + 3t + 1 - t = 1
Agora, somando os termos semelhantes:
(2 + 9 + 1) + (-4t + 3t - t) = 1 12 - 2t = 1

Passo 5

Isolando t:
12 - 2t = 1 -2t = 1 - 12 -2t = -11 t = -11-2 t = 112

Passo 6

Agora que temos o valor de t, vamos substituir de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção.
Para x:
x = 1 - 2 ( 112 ) = 1 - 11 = -10
Para y:
y = 3 + 112 = 62 + 112 = 172
Para z:
z = -1 + 112 = -22 + 112 = 92

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é (-10, 172, 92).

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