Determine a interseção da reta passando por e na direção de com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente encontrar o ponto onde uma reta, que passa pelo ponto e tem direção , intercepta o plano dado pela equação . Vamos usar Geometria Analítica para isso, e vamos precisar montar a equação paramétrica da reta e substituir na equação do plano para encontrar o ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Sabemos que uma reta pode ser representada assim:
Onde (x0, y0, z0) é um ponto da reta, (a, b, c) é o vetor de direção, e t é um parâmetro.
No nosso caso, o ponto é (1,3,-1) e o vetor de direção é (-2,1,1). Então, a equação paramétrica fica:
x = 1 - 2t y = 3 + t z = -1 + t
Passo 3
Agora, vamos substituir essas equações paramétricas na equação do plano 2x + 3y - z = 1. Substituindo cada coordenada:
2(1 - 2t) + 3(3 + t) - (-1 + t) = 1
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de t.