Considere P2(R) o conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais.
(e) Determine as coordenadas do vetor p(x)=1+2 x-x^2 em relação à base B^prime.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com polinômios de grau 2 com coeficientes reais, ou seja, no conjunto P2(R). Precisamos descobrir as coordenadas do polinômio p(x) = 1 + 2x - x^2 em relação à base B'. Para isso, vamos precisar saber quais são os polinômios que compõem a base B' e como expressar p(x) como uma combinação desses polinômios.

Passo 2

Vamos assumir que a base B' é a base padrão de P2(R), que é formada pelos polinômios 1, x, x^2. Ou seja:
B' = 1, x, x^2

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de p(x) em relação à base B', precisamos expressar p(x) como uma combinação linear dos polinômios da base. Isso significa encontrar números reais a, b e c tais que:
p(x) = a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2

Passo 4

Substituindo o polinômio p(x) = 1 + 2x - x^2 na equação acima, temos:
1 + 2x - x^2 = a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes de cada potência de x dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de x^0 (termo constante):
    1 = a
  • Coeficiente de x^1:
    2 = b
  • Coeficiente de x^2:
    -1 = c

Resposta

Portanto, as coordenadas do polinômio p(x) = 1 + 2x - x^2 em relação à base B' são (1, 2, -1).

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