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Sejam
e
duas transformações lineares não nulas tais que
. Mostre que existem vetores não nulos
tais que
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas transformações lineares,
e
, que vão de
para
. A parada é que, quando compomos essas duas transformações (
), o resultado é zero. O que a questão quer que a gente mostre é que existem dois vetores diferentes,
e
, que não são nulos, e que quando aplicamos a transformação
em cada um deles, o resultado é o mesmo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que são núcleo (ou kernel) e imagem de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
tal que
. Já a imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
.
Passo 3
Agora, como
, isso significa que para qualquer vetor
em
, temos
. Em outras palavras, a imagem de
está dentro do núcleo de
. Ou seja,
.
Passo 4
Sabemos que
não é a transformação nula, então a imagem de
não é apenas o vetor zero. Portanto, o núcleo de
também não é apenas o vetor zero, o que significa que
tem pelo menos um vetor não nulo que é mapeado para zero. Isso já nos dá uma pista de que
não é injetora (ou seja, não mapeia vetores diferentes para vetores diferentes).
Passo 5
Se
não é injetora, isso quer dizer que existem pelo menos dois vetores diferentes, digamos
e
, tais que
. Como o núcleo de
contém vetores não nulos, podemos escolher
e
diferentes nesse núcleo. Assim,
, mostrando que
realmente mapeia dois vetores não nulos diferentes para o mesmo resultado.
Resposta
Existem vetores não nulos distintos
e
em
tais que
.
Exercícios relacionados
Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear
que leva o plano
no plano
.
Seja
, onde
.
(b) Encontre a inversa de .
(b) Encontre a inversa de
Considere o subespaço vetorial
gerado pelo conjunto
. Determine uma base
de
que esteja contida em
.
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
d)
d)