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Sejam e duas transformações lineares não nulas tais que . Mostre que existem vetores não nulos tais que .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas transformações lineares, e , que vão de para . A parada é que, quando compomos essas duas transformações ( ), o resultado é zero. O que a questão quer que a gente mostre é que existem dois vetores diferentes, e , que não são nulos, e que quando aplicamos a transformação em cada um deles, o resultado é o mesmo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que são núcleo (ou kernel) e imagem de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tal que . Já a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .

Passo 3

Agora, como , isso significa que para qualquer vetor em , temos . Em outras palavras, a imagem de está dentro do núcleo de . Ou seja, .

Passo 4

Sabemos que não é a transformação nula, então a imagem de não é apenas o vetor zero. Portanto, o núcleo de também não é apenas o vetor zero, o que significa que tem pelo menos um vetor não nulo que é mapeado para zero. Isso já nos dá uma pista de que não é injetora (ou seja, não mapeia vetores diferentes para vetores diferentes).

Passo 5

Se não é injetora, isso quer dizer que existem pelo menos dois vetores diferentes, digamos e , tais que . Como o núcleo de contém vetores não nulos, podemos escolher e diferentes nesse núcleo. Assim, , mostrando que realmente mapeia dois vetores não nulos diferentes para o mesmo resultado.

Resposta

Existem vetores não nulos distintos e em tais que .

Exercícios relacionados

Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear que leva o plano no plano .
Seja , onde .
(b) Encontre a inversa de .
Considere o subespaço vetorial gerado pelo conjunto . Determine uma base de que esteja contida em .
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
d)