Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear que leva o plano no plano .
Passo 1
Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A gente precisa encontrar a matriz da transformação linear na base canônica que transforma o plano no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam, como elas são representadas por matrizes e como elas agem sobre planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a transformação leva o plano para o plano . Isso quer dizer que qualquer vetor que está no plano será mapeado para um vetor que está no plano . Ou seja, se está em , então está em .
Passo 3
Para encontrar a matriz da transformação , vamos assumir que ela é representada por uma matriz 3x3 na base canônica. Nossa meta é determinar os elementos dessa matriz de forma que, para qualquer vetor em , o vetor esteja em .
Passo 4
Vamos expressar os planos e em termos de suas equações normais. O vetor normal ao plano é e ao plano é . Queremos que mapeie para , ou seja, .
Passo 5
Isso nos dá a seguinte equação matricial:
Vamos chamar a matriz de:
Multiplicando pelo vetor , temos:
Portanto, temos o sistema de equações:
Passo 6
Agora, precisamos de mais informações para determinar os elementos da matriz . Como a transformação é linear, além de mapear o plano para , podemos escolher que os vetores da base canônica não pertencentes a sejam mapeados de forma que a base resultante mantenha a linearidade. Vamos supor que a transformação deixa inalterados os vetores que já estão em .
Passo 7
Considerando que os vetores da base canônica que estão em são mapeados para , podemos definir os vetores de que não estão em e usar essas informações para resolver o sistema de equações encontrado.
Passo 8
Resolviendo o sistema de equações:
Podemos atribuir valores a alguns elementos e resolver os demais. Por exemplo, podemos definir e na primeira equação, e na segunda, e e na terceira.
Passo 9
Escolhendo , , e , obtemos:
Portanto, a matriz fica:
Resposta
A matriz da transformação linear na base canônica é: