Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear que leva o plano no plano .

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A gente precisa encontrar a matriz da transformação linear na base canônica que transforma o plano no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam, como elas são representadas por matrizes e como elas agem sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a transformação leva o plano para o plano . Isso quer dizer que qualquer vetor que está no plano será mapeado para um vetor que está no plano . Ou seja, se está em , então está em .

Passo 3

Para encontrar a matriz da transformação , vamos assumir que ela é representada por uma matriz 3x3 na base canônica. Nossa meta é determinar os elementos dessa matriz de forma que, para qualquer vetor em , o vetor esteja em .

Passo 4

Vamos expressar os planos e em termos de suas equações normais. O vetor normal ao plano é e ao plano é . Queremos que mapeie para , ou seja, .

Passo 5

Isso nos dá a seguinte equação matricial:
Vamos chamar a matriz de:
Multiplicando pelo vetor , temos:
Portanto, temos o sistema de equações:

Passo 6

Agora, precisamos de mais informações para determinar os elementos da matriz . Como a transformação é linear, além de mapear o plano para , podemos escolher que os vetores da base canônica não pertencentes a sejam mapeados de forma que a base resultante mantenha a linearidade. Vamos supor que a transformação deixa inalterados os vetores que já estão em .

Passo 7

Considerando que os vetores da base canônica que estão em são mapeados para , podemos definir os vetores de que não estão em e usar essas informações para resolver o sistema de equações encontrado.

Passo 8

Resolviendo o sistema de equações:
Podemos atribuir valores a alguns elementos e resolver os demais. Por exemplo, podemos definir e na primeira equação, e na segunda, e e na terceira.

Passo 9

Escolhendo , , e , obtemos:
Portanto, a matriz fica:

Resposta

A matriz da transformação linear na base canônica é:

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