Considere o subespaço vetorial gerado pelo conjunto . Determine uma base de que esteja contida em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. O problema nos dá um conjunto de polinômios que geram um subespaço dentro de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 4. Nosso objetivo é encontrar uma base para que seja composta por polinômios desse conjunto inicial. Para isso, vamos precisar verificar se os polinômios são linearmente independentes e reduzir o conjunto para uma base mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os polinômios que geram :

Passo 3

Agora, vamos representar cada polinômio como um vetor de , onde cada componente corresponde ao coeficiente de até :

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas:
Nosso objetivo é realizar operações de linha para reduzir essa matriz e identificar quais polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Vamos começar pela primeira coluna. Já temos um 1 na posição . Vamos zerar os demais elementos abaixo desse 1:
  • e já têm 0 na primeira posição.
Agora a matriz fica:

Passo 6

Perceba que a segunda e terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante. Vamos eliminar a terceira linha:

Passo 7

Agora, vamos focar na segunda coluna. Temos um -4 na posição . Vamos usar essa entrada para zerar a entrada abaixo:
A matriz atualizada:

Passo 8

Vamos simplificar a terceira e quarta linhas. Multiplicando a terceira linha por para facilitar:
Agora, a quarta linha:
Matriz atualizada:

Passo 9

Vamos simplificar ainda mais a quarta linha dividindo por :
A matriz fica:

Passo 10

Agora, vamos voltar substituindo para eliminar os termos acima dos pivôs:
  • A quarta linha já tem 1 na coluna 4. Usamos isso para eliminar o 3 na posição e o -5 na posição :
  • Agora, a terceira linha já tem 1 na coluna 3. Vamos eliminar o 1 na posição e o -3 na posição :
A matriz atualizada:

Passo 11

Por fim, vamos simplificar a segunda linha dividindo por :
Agora, a matriz final está na forma escalonada reduzida:

Resposta

Com isso, identificamos que os polinômios , , e são linearmente independentes e formam uma base para . Então, uma base para é:

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Sejam e duas transformações lineares não nulas tais que . Mostre que existem vetores não nulos tais que .
Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear que leva o plano no plano .
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
d)
Considere dada por .
(b) é sobrejetora? é injetora? Calcule .