Considere o subespaço vetorial gerado pelo conjunto . Determine uma base de que esteja contida em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. O problema nos dá um conjunto de polinômios que geram um subespaço dentro de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 4. Nosso objetivo é encontrar uma base para que seja composta por polinômios desse conjunto inicial. Para isso, vamos precisar verificar se os polinômios são linearmente independentes e reduzir o conjunto para uma base mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os polinômios que geram :
Passo 3
Agora, vamos representar cada polinômio como um vetor de , onde cada componente corresponde ao coeficiente de até :
Passo 4
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas:
Nosso objetivo é realizar operações de linha para reduzir essa matriz e identificar quais polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Vamos começar pela primeira coluna. Já temos um 1 na posição . Vamos zerar os demais elementos abaixo desse 1:
e já têm 0 na primeira posição.
Agora a matriz fica:
Passo 6
Perceba que a segunda e terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante. Vamos eliminar a terceira linha:
Passo 7
Agora, vamos focar na segunda coluna. Temos um -4 na posição . Vamos usar essa entrada para zerar a entrada abaixo:
A matriz atualizada:
Passo 8
Vamos simplificar a terceira e quarta linhas. Multiplicando a terceira linha por para facilitar:
Agora, a quarta linha:
Matriz atualizada:
Passo 9
Vamos simplificar ainda mais a quarta linha dividindo por :
A matriz fica:
Passo 10
Agora, vamos voltar substituindo para eliminar os termos acima dos pivôs:
A quarta linha já tem 1 na coluna 4. Usamos isso para eliminar o 3 na posição e o -5 na posição :
Agora, a terceira linha já tem 1 na coluna 3. Vamos eliminar o 1 na posição e o -3 na posição :
A matriz atualizada:
Passo 11
Por fim, vamos simplificar a segunda linha dividindo por :
Agora, a matriz final está na forma escalonada reduzida:
Resposta
Com isso, identificamos que os polinômios , , e são linearmente independentes e formam uma base para . Então, uma base para é: