23 sumn=1^infty (-3)^n-14^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a soma infinita da série:
sumn=1^infty (-3)^n-14^n
Essa questão envolve séries geométricas, que são somas de termos que formam uma progressão geométrica. Para resolver, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série quando a = (-3)^1-14^1 = (-3)^04 = 14 :
Então, o primeiro termo é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a razão (-3)^n-14^n = (-34)^n-1 cdot 14 da série. A razão é o número que multiplicamos em cada termo para chegar ao próximo. Observando a expressão geral da série:
Perceba que a razão é .

Passo 4

Sabendo que estamos lidando com uma série geométrica infinita, a soma S = a1 - r dela é dada por:
| -34 | = 34 < 1
Mas, para que essa fórmula funcione, a razão precisa satisfazer . Vamos verificar:
Está certo, podemos usar a fórmula!

Passo 5

Aplicando os valores encontrados na fórmula:
S = 141 - (-34) = 141 + 34 = 1474 = 14 times 47 = 17

Resposta

A soma da série infinita é:
17

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