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Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente precisa calcular:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sobre uma região específica. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração pode facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de até 4. Isso nos dá uma região triangular no plano xy. Às vezes, trocar a ordem das integrais facilita a resolução, especialmente quando a função a ser integrada é complicada.

Passo 3

Vamos trocar a ordem das integrais. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração. Agora, y vai de 0 a 4, e para cada y, x varia de 0 até . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a x. Como não depende de x, basta integrar 1 em x de 0 a :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Podemos simplificar retirando a constante :

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos uma técnica chamada substituição. Vamos deixar , então , o que nos dá .
Substituindo na integral:
Invertendo os limites de integração para remover o sinal negativo:

Passo 7

Integrando :

Resposta

Então, o valor da integral é:

Exercícios relacionados

Encontre o vetor gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto:
(b) ,
24
Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado por e pelo cilindro que contorna a região delimitada por e .
30
Calcule a área da região delimitada por e .
© Mostre que qualquer direcção ortogonal ao gradiente é uma direç̧ão de variação zero em .