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Calcule
I=integral0^1 integral4 x^4 e^-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente precisa calcular:
I = integral0^1 integral4x^4 e^-y^2 , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sobre uma região específica. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração pode facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de até 4. Isso nos dá uma região triangular no plano xy. Às vezes, trocar a ordem das integrais facilita a resolução, especialmente quando a função a ser integrada é complicada.

Passo 3

Vamos trocar a ordem das integrais. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração. Agora, y vai de 0 a 4, e para cada y, x varia de 0 até I = integral0^4 integral0^y4 e^-y^2 , dx , dy . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a x. Como integral0^y4 e^-y^2 , dx = e^-y^2 cdot ( y4 - 0 ) = y4 e^-y^2 não depende de x, basta integrar 1 em x de 0 a :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral externa:
I = integral0^4 y4 e^-y^2 , dy
Podemos simplificar retirando a constante I = 14 integral0^4 y e^-y^2 , dy :

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos uma técnica chamada substituição. Vamos deixar I = 14 cdot ( -12 ) integralu(0)^u(4) e^u , du = -18 integral0^-16 e^u , du , então I = 18 integral-16^0 e^u , du , o que nos dá .
Substituindo na integral:
Invertendo os limites de integração para remover o sinal negativo:

Passo 7

Integrando I = 18 [ e^u ]-16^0 = 18 ( e^0 - e^-16 ) = 18 ( 1 - e^-16 ) :

Resposta

Então, o valor da integral é:
I = 18 ( 1 - e^-16 )

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