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Sejam B e C bases de R^2. Se C=(1,2),(2,3) e a matriz de mudança de base de B para C é
MC^B=[cc 1 & -1 -1 & 2 ]
encontre B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre bases em um espaço vetorial, especificamente MC^B = 1 & -1 -1 & 2 . Precisamos encontrar a base sabendo que já temos a base e a matriz de mudança de base de para , que é:
Para resolver isso, vamos lembrar como funciona a mudança de base e como usar essa matriz para encontrar os vetores da base .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a matriz de mudança de base . Essa matriz nos diz como transformar coordenadas de um vetor na base para coordenadas na base .
Em termos simples, cada coluna dessa matriz representa as coordenadas de um vetor da base expressas na base .

Passo 3

Vamos chamar os vetores da base b1 = 1 cdot c1 + (-1) cdot c2 de b2 = (-1) cdot c1 + 2 cdot c2 e . Sabemos que:
Onde e .

Passo 4

Agora, vamos calcular cada vetor da base b1 = 1 cdot (1,2) + (-1) cdot (2,3) = (1 - 2, 2 - 3) = (-1, -1) :
Para b2 = (-1) cdot (1,2) + 2 cdot (2,3) = (-1 + 4, -2 + 6) = (3, 4) :
Para :

Resposta

A base é .

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