Considere
o conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais.
(b) Qual é a dimensão de
?
(b) Qual é a dimensão de
Passo 1
Então, a questão está perguntando qual é a dimensão do conjunto
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial, base e dimensão na álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um espaço vetorial, o que significa que podemos falar sobre a dimensão desse espaço. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço.
Passo 3
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de
, precisamos encontrar um conjunto de polinômios que satisfaça essas condições.
Passo 4
Vamos considerar os polinômios
,
e
. Vamos verificar se eles formam uma base para
.
Passo 5
Primeiro, vemos que qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios:
onde
,
e
são coeficientes reais. Isso significa que os polinômios
,
e
geram todo o espaço
.
Passo 6
Agora, precisamos confirmar que esses polinômios são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que resulta no polinômio zero:
Isso implica que
, garantindo que não há dependência linear entre eles.
Resposta
Portanto, a dimensão de
é 3.