Considere P2(R) o conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais.
(b) Qual é a dimensão de P2(R) ?

Passo 1

Então, a questão está perguntando qual é a dimensão do conjunto P2(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial, base e dimensão na álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que P2(R) é um espaço vetorial, o que significa que podemos falar sobre a dimensão desse espaço. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço.

Passo 3

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de P2(R), precisamos encontrar um conjunto de polinômios que satisfaça essas condições.

Passo 4

Vamos considerar os polinômios 1, x e x^2. Vamos verificar se eles formam uma base para P2(R).

Passo 5

Primeiro, vemos que qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses três polinômios:
a + bx + cx^2
onde a, b e c são coeficientes reais. Isso significa que os polinômios 1, x e x^2 geram todo o espaço P2(R).

Passo 6

Agora, precisamos confirmar que esses polinômios são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que resulta no polinômio zero:
k1 cdot 1 + k2 cdot x + k3 cdot x^2 = 0
Isso implica que k1 = k2 = k3 = 0, garantindo que não há dependência linear entre eles.

Resposta

Portanto, a dimensão de P2(R) é 3.

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