(25 pontos) Analise a convergência da série usando o teste da razão. Determine se a série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência da série usando o teste da razão. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série específica converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é o teste da razão e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, o teste da razão nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
Onde é o termo geral da série. Dependendo do valor de , podemos concluir:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Passo 3
No nosso caso, o termo geral é . Vamos encontrar o próximo termo, :
Passo 4
Agora, calculamos a razão :
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite é maior que 1, segundo o teste da razão, isso significa que a série diverge.