(25 pontos) Analise a convergência da série usando o teste da razão. Determine se a série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a convergência da série usando o teste da razão. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série específica converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é o teste da razão e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o teste da razão nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
Onde é o termo geral da série. Dependendo do valor de , podemos concluir:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral é . Vamos encontrar o próximo termo, :

Passo 4

Agora, calculamos a razão :

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite dessa razão quando tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é maior que 1, segundo o teste da razão, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 2 :
(25 pontos) Use o teste da raiz para investigar a convergência da série . Explique seu processo de solução.
(25 pontos) Dada a série , use o teste da comparação limite para determinar se a série converge ou diverge.