(25 pontos) Analise a convergência da série sumn=1^infty n!3^n usando o teste da razão. Determine se a série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a convergência da série sumn=1^infty n!3^n usando o teste da razão. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série específica converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é o teste da razão e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o teste da razão nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an é o termo geral da série. Dependendo do valor de L, podemos concluir:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral an é n!3^n. Vamos encontrar o próximo termo, an+1:
an+1 = (n+1)!3^n+1 = (n+1) cdot n!3 cdot 3^n = (n+1) cdot n!3^n+1

Passo 4

Agora, calculamos a razão an+1an:
an+1an = (n+1)!3^n+1n!3^n = (n+1) cdot n!3^n+1 cdot 3^nn! = n+13

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n+13 = limn to infty n3 + 13 = infty

Passo 6

Como o limite L = infty é maior que 1, segundo o teste da razão, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!3^n diverge.

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