(25 pontos) Dada a série , use o teste da comparação limite para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a série e pede para usarmos o teste da comparação limite para determinar se ela converge ou diverge. Então, o conteúdo aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, especificamente o teste da comparação limite. Para resolver isso, vamos precisar comparar a nossa série com outra série conhecida e calcular um limite para ver o que acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação limite. Esse teste diz que, se tivermos duas séries e com termos positivos, e se o limite , onde , então ambas as séries convergem ou ambas divergem. Isso ajuda a decidir o comportamento da nossa série comparando com uma série conhecida.

Passo 3

Agora, vamos identificar uma série para comparar com a nossa série . Observando a expressão , para grandes valores de , os termos de maior grau no numerador e denominador dominam. Então, podemos simplificar e considerar .

Passo 4

Então, vamos escolher nossa série de comparação como . Sabemos que essa é a série harmônica, que é bem conhecida por divergir.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite .

Passo 6

Para resolver esse limite, dividimos o numerador e o denominador por :
.

Passo 7

Como o limite é um número positivo e finito ( ), pelo teste da comparação limite, a nossa série e a série de comparação compartilham o mesmo comportamento em termos de convergência.

Passo 8

Sabemos que a série diverge, então, pelo teste da comparação limite, a série também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação limite.

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