(25 pontos) Dada a série sumn=1^infty 2 n+3n^2+1, use o teste da comparação limite para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a série sumn=1^infty 2n + 3n^2 + 1 e pede para usarmos o teste da comparação limite para determinar se ela converge ou diverge. Então, o conteúdo aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, especificamente o teste da comparação limite. Para resolver isso, vamos precisar comparar a nossa série com outra série conhecida e calcular um limite para ver o que acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação limite. Esse teste diz que, se tivermos duas séries sum an e sum bn com termos positivos, e se o limite limn to infty anbn = L, onde 0 < L < infty, então ambas as séries convergem ou ambas divergem. Isso ajuda a decidir o comportamento da nossa série comparando com uma série conhecida.

Passo 3

Agora, vamos identificar uma série sum bn para comparar com a nossa série sum an = sum 2n + 3n^2 + 1. Observando a expressão 2n + 3n^2 + 1, para grandes valores de n, os termos de maior grau no numerador e denominador dominam. Então, podemos simplificar e considerar 2nn^2 = 2n.

Passo 4

Então, vamos escolher nossa série de comparação como sum bn = sum 1n. Sabemos que essa é a série harmônica, que é bem conhecida por divergir.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite limn to infty anbn = limn to infty 2n + 3n^2 + 11n = limn to infty (2n + 3) cdot nn^2 + 1 = limn to infty 2n^2 + 3nn^2 + 1.

Passo 6

Para resolver esse limite, dividimos o numerador e o denominador por n^2:
limn to infty 2 + 3n1 + 1n^2 = 2 + 01 + 0 = 2.

Passo 7

Como o limite L = 2 é um número positivo e finito ( 0 < L < infty), pelo teste da comparação limite, a nossa série sum 2n + 3n^2 + 1 e a série de comparação sum 1n compartilham o mesmo comportamento em termos de convergência.

Passo 8

Sabemos que a série sum 1n diverge, então, pelo teste da comparação limite, a série sum 2n + 3n^2 + 1 também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2n + 3n^2 + 1 diverge pelo teste da comparação limite.

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