(25 pontos) Dada a série
, use o teste da comparação limite para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a série
e pede para usarmos o teste da comparação limite para determinar se ela converge ou diverge. Então, o conteúdo aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, especificamente o teste da comparação limite. Para resolver isso, vamos precisar comparar a nossa série com outra série conhecida e calcular um limite para ver o que acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação limite. Esse teste diz que, se tivermos duas séries
e
com termos positivos, e se o limite
, onde
, então ambas as séries convergem ou ambas divergem. Isso ajuda a decidir o comportamento da nossa série comparando com uma série conhecida.
Passo 3
Agora, vamos identificar uma série
para comparar com a nossa série
. Observando a expressão
, para grandes valores de
, os termos de maior grau no numerador e denominador dominam. Então, podemos simplificar e considerar
.
Passo 4
Então, vamos escolher nossa série de comparação como
. Sabemos que essa é a série harmônica, que é bem conhecida por divergir.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite
.
Passo 6
Para resolver esse limite, dividimos o numerador e o denominador por
:
Passo 7
Como o limite
é um número positivo e finito (
), pelo teste da comparação limite, a nossa série
e a série de comparação
compartilham o mesmo comportamento em termos de convergência.
Passo 8
Sabemos que a série
diverge, então, pelo teste da comparação limite, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da comparação limite.
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