Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 2 : y(n+2) + y(n) = 0, y(0) = 1, y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de ordem 2 que é , com as condições iniciais e . A gente vai precisar usar a teoria de equações lineares de recorrência, onde a gente procura soluções da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma . Substituindo isso na equação dada:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação. Dividindo ambos os lados por (que não é zero):

Passo 4

Agora, temos a equação característica:
Resolvendo para r, temos:

Passo 5

As raízes são complexas conjugadas: e . Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação é:
Onde theta é o argumento das raízes. No nosso caso, como , temos .
Simplificando, a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de alpha e beta.
Para n = 0:
Então, .
Para n = 1:
Então, .

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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