Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de ordem 2 que é
, com as condições iniciais
e
. A gente vai precisar usar a teoria de equações lineares de recorrência, onde a gente procura soluções da forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma
. Substituindo isso na equação dada:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação. Dividindo ambos os lados por
(que não é zero):
Passo 4
Agora, temos a equação característica:
Resolvendo para
, temos:
Passo 5
As raízes são complexas conjugadas:
e
. Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação é:
Onde
é o argumento das raízes. No nosso caso, como
, temos
.
Simplificando, a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Para
:
Então,
.
Para
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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