(25 pontos) Use o teste da raiz para investigar a convergência da série sumn=1^infty(5 n2 n+3)^n. Explique seu processo de solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge usando o teste da raiz. Para isso, vamos precisar entender o que é o teste da raiz e como aplicá-lo em séries com termos que envolvem potências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste diz que, para uma série , calculamos o limite . A conclusão é:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral da série é L = limn to infty raiz[n]|(5n2n+3)^n| = limn to infty 5n2n+3 . Vamos aplicar o teste da raiz:

Passo 4

Agora, precisamos calcular esse limite limn to infty 5n2n+3 = limn to infty 52 + 3n = 52 + 0 = 52 . Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

Então, encontramos que . Agora, aplicando o teste da raiz:
  • Como , a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz.

Exercícios relacionados