(25 pontos) Use o teste da raiz para investigar a convergência da série . Explique seu processo de solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge usando o teste da raiz. Para isso, vamos precisar entender o que é o teste da raiz e como aplicá-lo em séries com termos que envolvem potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste diz que, para uma série , calculamos o limite . A conclusão é:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não conclui nada.
Passo 3
No nosso caso, o termo geral da série é . Vamos aplicar o teste da raiz:
Passo 4
Agora, precisamos calcular esse limite . Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :
Passo 5
Então, encontramos que . Agora, aplicando o teste da raiz: