Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear de primeira ordem: , com a condição inicial . Isso está dentro do estudo de equações de recorrência, que ajudam a encontrar termos de uma sequência baseada em termos anteriores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Essa é uma equação linear simples, e para resolvê-la a gente assume que a solução tem a forma , onde é uma constante e é a razão comum.
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (assumindo que e ):
Então, a solução homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma expressão linear em , vamos assumir que a solução particular tem a forma , onde e são constantes que precisamos determinar.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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(25 pontos) Dada a série , use o teste da comparação limite para determinar se a série converge ou diverge.
(25 pontos) Use o teste da raiz para investigar a convergência da série . Explique seu processo de solução.
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: