Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear de primeira ordem:
, com a condição inicial
. Isso está dentro do estudo de equações de recorrência, que ajudam a encontrar termos de uma sequência baseada em termos anteriores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Essa é uma equação linear simples, e para resolvê-la a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante e
é a razão comum.
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(assumindo que
e
):
Então, a solução homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é uma expressão linear em
, vamos assumir que a solução particular tem a forma
, onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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(25 pontos) Dada a série
, use o teste da comparação limite para determinar se a série converge ou diverge.
(25 pontos) Use o teste da raiz para investigar a convergência da série
. Explique seu processo de solução.
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: