(0,25 pt) Os vetores u=(1,2,3), v=(-1,0,5) e w=(2,4,6) são Linearmente Dependentes (LD).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão afirma que os vetores u = (1, 2, 3), v = (-1, 0, 5) e w = (2, 4, 6) são linearmente dependentes (LD). Nosso objetivo aqui é entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e verificar se essa afirmação está correta.

Passo 2

Primeiro, o que são vetores linearmente dependentes? Vetores são linearmente dependentes quando pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma combinação de multiplicadores (não todos zero) que, ao serem aplicados aos vetores, resultam no vetor zero.

Passo 3

Para verificar se os vetores u, v e w são LD, montamos uma equação onde uma combinação linear deles é igual ao vetor zero:
au + bv + cw = 0
Isso se traduz no sistema de equações:
a(1) + b(-1) + c(2) = 0 a(2) + b(0) + c(4) = 0 a(3) + b(5) + c(6) = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
a - b + 2c = 0 (1)
  1. Da segunda equação:
2a + 4c = 0 (2)
  1. Da terceira equação:
3a + 5b + 6c = 0 (3)
Vamos resolver a equação (2) para a:
2a = -4c a = -2c
Agora, substituímos a = -2c na equação (1):
-2c - b + 2c = 0 - b = 0 b = 0
Finalmente, substituímos a = -2c e b = 0 na equação (3):
3(-2c) + 5(0) + 6c = 0 -6c + 6c = 0 0 = 0

Resposta

Como encontramos soluções não triviais ( a = -2c, b = 0, c livre), os vetores u, v e w são linearmente dependentes.

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