Dadas as matrizes A=(cccos (theta) & sen(theta) -sen(theta) & cos (theta)), X=binom11 e Y=binom-11, determine os valores de theta in R para que A X=Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz , dois vetores e , e queremos encontrar os valores de que fazem com que . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que queremos resolver: A = cos(theta) & sin(theta) -sin(theta) & cos(theta) .
A matriz X = 1 1 , Y = -1 1 é dada por:
E os vetores são:

Passo 3

Vamos multiplicar a matriz A times X = cos(theta) times 1 + sin(theta) times 1 -sin(theta) times 1 + cos(theta) times 1 = cos(theta) + sin(theta) -sin(theta) + cos(theta) pelo vetor cos(theta) + sin(theta) -sin(theta) + cos(theta) = -1 1 :
cos(theta) + sin(theta) = -1 (1)
Queremos que esse resultado seja igual ao vetor -sin(theta) + cos(theta) = 1 (2) :
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, somamos as duas equações para eliminar (cos(theta) + sin(theta)) + (-sin(theta) + cos(theta)) = -1 + 1 :
2cos(theta) = 0 Rightarrow cos(theta) = 0
(cos(theta) + sin(theta)) - (-sin(theta) + cos(theta)) = -1 - 1
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar 2sin(theta) = -2 Rightarrow sin(theta) = -1 :

Passo 5

Agora sabemos que:
cos(theta) = 0 e sin(theta) = -1
Isso acontece quando theta = 3pi2 + 2pi k, k in Z está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, especificamente quando:
Isso significa que pode ser , , , e assim por diante, repetindo a cada ciclo completo de .

Resposta

Os valores de theta = 3pi2 + 2pi k, para todo k in Z que satisfazem são:

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