Dadas as matrizes , e , determine os valores de para que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz , dois vetores e , e queremos encontrar os valores de que fazem com que . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que queremos resolver: .
A matriz é dada por:
E os vetores são:
Passo 3
Vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
Queremos que esse resultado seja igual ao vetor :
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, somamos as duas equações para eliminar :
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar :
Passo 5
Agora sabemos que:
Isso acontece quando está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, especificamente quando:
Isso significa que pode ser , , , e assim por diante, repetindo a cada ciclo completo de .