A matriz resultante do produto de duas matrizes simétricas é também simétrica? Se sim, demonstre. Se não, apresente um contra-exemplo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Queremos saber se, ao multiplicarmos duas matrizes simétricas, o resultado dessa multiplicação também é uma matriz simétrica. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica e como funciona a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua própria transposta. Ou seja, uma matriz é simétrica se , onde é a transposta de . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, vamos considerar duas matrizes simétricas, e . Queremos saber se o produto também é simétrico. Para ser simétrico, precisamos que .

Passo 4

Vamos aplicar a propriedade da transposta de um produto de matrizes. Sabemos que . Como e são simétricas, temos e . Então, .

Passo 5

Para ser simétrico, precisamos que . Isso significa que as matrizes e devem comutar, ou seja, a multiplicação delas deve ser comutativa.

Passo 6

No entanto, na realidade, a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa. Ou seja, nem sempre é igual a , mesmo que e sejam simétricas. Vamos ver um exemplo para ilustrar isso.

Passo 7

Considere duas matrizes simétricas A = 1 & 2 2 & 3 , B = 0 & 1 1 & 0 e :

Passo 8

Vamos calcular AB = 1 cdot 0 + 2 cdot 1 & 1 cdot 1 + 2 cdot 0 2 cdot 0 + 3 cdot 1 & 2 cdot 1 + 3 cdot 0 = 2 & 1 3 & 2 :

Passo 9

Agora, vamos calcular BA = 0 cdot 1 + 1 cdot 2 & 0 cdot 2 + 1 cdot 3 1 cdot 1 + 0 cdot 2 & 1 cdot 2 + 0 cdot 3 = 2 & 3 1 & 2 :

Passo 10

Observamos que AB = 2 & 1 3 & 2 neq 2 & 3 1 & 2 = BA , pois:

Passo 11

Como , a matriz não é simétrica, mesmo que e sejam simétricas.

Resposta

Não, o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é simétrico. Por exemplo, considerando:
A = 1 & 2 2 & 3 , B = 0 & 1 1 & 0
O produto AB = 2 & 1 3 & 2 resulta em:
que não é simétrica, já que .

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