A matriz resultante do produto de duas matrizes simétricas é também simétrica? Se sim, demonstre. Se não, apresente um contra-exemplo.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Queremos saber se, ao multiplicarmos duas matrizes simétricas, o resultado dessa multiplicação também é uma matriz simétrica. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica e como funciona a multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua própria transposta. Ou seja, uma matriz
é simétrica se
, onde
é a transposta de
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Agora, vamos considerar duas matrizes simétricas,
e
. Queremos saber se o produto
também é simétrico. Para
ser simétrico, precisamos que
.
Passo 4
Vamos aplicar a propriedade da transposta de um produto de matrizes. Sabemos que
. Como
e
são simétricas, temos
e
. Então,
.
Passo 5
Para
ser simétrico, precisamos que
. Isso significa que as matrizes
e
devem comutar, ou seja, a multiplicação delas deve ser comutativa.
Passo 6
No entanto, na realidade, a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa. Ou seja,
nem sempre é igual a
, mesmo que
e
sejam simétricas. Vamos ver um exemplo para ilustrar isso.
Passo 7
Considere duas matrizes simétricas
e
:
Passo 8
Vamos calcular
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
:
Passo 10
Observamos que
, pois:
Passo 11
Como
, a matriz
não é simétrica, mesmo que
e
sejam simétricas.
Resposta
Não, o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é simétrico. Por exemplo, considerando:
O produto
resulta em:
que não é simétrica, já que
.
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Resolva a equação na incógnita
:
(0,25 pt) O produto vetorial é definido apenas para vetores no espaço tridimensional.
(0,25 pt) Os vetores
e
são Linearmente Dependentes (LD).
Prove que: Se
e
então
.