( 25 pts ) Encontre o Estimador de Máxima Verossimilhança para
, dada a função densidade de probabilidade:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para o parâmetro
, dado a função densidade de probabilidade:
Isso faz parte da matéria de Estatística, mais especificamente de Estimativa de Parâmetros. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método da máxima verossimilhança e aplicar algumas derivadas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Estimador de Máxima Verossimilhança. Ele é um método para estimar parâmetros de uma distribuição de probabilidade, escolhendo o valor do parâmetro que maximiza a verossimilhança dos dados observados. Em outras palavras, queremos encontrar o
que torna os dados que temos mais “prováveis”.
Passo 3
Considerando que temos uma amostra de dados
vindos dessa distribuição, a função de verossimilhança
é o produto das probabilidades individuais:
Passo 4
Para facilitar as contas, é comum trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, chamado de log-verossimilhança
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação acima para
:
Passo 7
Podemos simplificar ainda mais usando a média amostral
:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
O Estimador de Máxima Verossimilhança para
é: