( 25 pts ) Encontre o Estimador de Máxima Verossimilhança para theta, dada a função densidade de probabilidade:
f(x)=theta e^-theta x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para o parâmetro f(x) = theta e^-theta x , dado a função densidade de probabilidade:
Isso faz parte da matéria de Estatística, mais especificamente de Estimativa de Parâmetros. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método da máxima verossimilhança e aplicar algumas derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Estimador de Máxima Verossimilhança. Ele é um método para estimar parâmetros de uma distribuição de probabilidade, escolhendo o valor do parâmetro que maximiza a verossimilhança dos dados observados. Em outras palavras, queremos encontrar o que torna os dados que temos mais “prováveis”.

Passo 3

Considerando que temos uma amostra de dados L(theta) = prodi=1^n f(xi) = prodi=1^n theta e^-theta xi vindos dessa distribuição, a função de verossimilhança é o produto das probabilidades individuais:

Passo 4

Para facilitar as contas, é comum trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, chamado de log-verossimilhança ell(theta) = ln L(theta) = sumi=1^n ln(theta e^-theta xi) = sumi=1^n (ln theta - theta xi) :
ell(theta) = n ln theta - theta sumi=1^n xi
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de dell(theta)dtheta = ntheta - sumi=1^n xi = 0 que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação acima para ntheta = sumi=1^n xi implies theta = nsumi=1^n xi :

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais usando a média amostral barx = 1n sumi=1^n xi implies sumi=1^n xi = n barx :
theta = nn barx = 1barx
Substituindo na expressão de :

Resposta

O Estimador de Máxima Verossimilhança para theta = 1barx é:

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