( 25 pts ) Encontre o Estimador de Máxima Verossimilhança para , dada a função densidade de probabilidade:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para o parâmetro , dado a função densidade de probabilidade:
Isso faz parte da matéria de Estatística, mais especificamente de Estimativa de Parâmetros. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método da máxima verossimilhança e aplicar algumas derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Estimador de Máxima Verossimilhança. Ele é um método para estimar parâmetros de uma distribuição de probabilidade, escolhendo o valor do parâmetro que maximiza a verossimilhança dos dados observados. Em outras palavras, queremos encontrar o que torna os dados que temos mais “prováveis”.

Passo 3

Considerando que temos uma amostra de dados vindos dessa distribuição, a função de verossimilhança é o produto das probabilidades individuais:

Passo 4

Para facilitar as contas, é comum trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, chamado de log-verossimilhança :
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação acima para :

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais usando a média amostral :
Substituindo na expressão de :

Resposta

O Estimador de Máxima Verossimilhança para é:

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Se , calcule:
(a) Resp: 0,0386
(b) (Resp: 0,1359)
© (Resp: 0,9515 )
(d) (Resp: 0,0001 )
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