Um rebite deve ser inserido em um orifício. Se o desvio-padrão do diâmetro do orifício exceder , haverá uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o rebite não se ajuste. Uma amostra aleatória de 45 peças é selecionada e o diâmetro do orifício é medido. O desvio padrão das medidas do diâmetro do orifício é de . Existe forte evidência indicando que o desvio-padrão do diâmetro do orifício exceda 4,97 mm? Use .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que temos aqui. O exercício fala sobre verificar se a variação (desvio-padrão) no diâmetro de um orifício está acima de um certo valor, especificamente . A matéria que vamos usar é Estatística, mais precisamente o teste de hipóteses para desvio-padrão. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do teste qui-quadrado para variâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula ( ) é que o desvio-padrão é menor ou igual a . A hipótese alternativa ( ) é que é maior que . Assim:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do teste qui-quadrado para variâncias. A estátística de teste é dada por:
Onde:
  • é o tamanho da amostra (45),
  • é o desvio-padrão da amostra (3,976 mm),
  • é o desvio-padrão sob a hipótese nula (4,97 mm).

Passo 4

Vamos calcular o valor da estatística qui-quadrado com os valores fornecidos:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para nosso teste. Como é um teste unilateral à direita e o nível de significância é 0,01, vamos buscar o valor crítico com graus de liberdade. Consultando uma tabela qui-quadrado ou usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 6

Comparamos o valor calculado da estatística qui-quadrado com o valor crítico. Temos:
Isso significa que nossa estatística não está na região de rejeição.

Passo 7

Como o valor calculado é menor que o valor crítico, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para concluir que o desvio-padrão do diâmetro do orifício excede ao nível de significância de .

Exercícios relacionados

Na pandemia, em uma cidade com 8.100 indivíduos se identificou que a taxa infecção por vírus foi de . Qual é o número de indivíduos que devem ser examinados a modo de detectar pelo menos 1 indivíduo infetado com o vírus com uma confiança de 95%
( 25 pts ) Encontre o Estimador de Máxima Verossimilhança para , dada a função densidade de probabilidade:
A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 12 corpos de prova e obtém os seguintes dados:
2194 2165 2270 2195 2168 2173 2181 2176 2202 2137 2186 2181
Construa um intervalo confidencial de de confiança a resistência média do concreto.
Dois catalizadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está corretamente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele não mude o rendimento do processo. Um teste é feito em uma planta piloto, resultando os seguintes dados:
Observação 1 2 3 4 5 6 7 8
Catalisador 1 151,89 156,34 153,02 158,35 152,37 147,86 157,24 148,09
Catalisador 2 148,06 150,98 150,16 154,73 161,34 161,09 151,18 153,97
Há alguma diferença entre os rendimentos médios? Use .