Um rebite deve ser inserido em um orifício. Se o desvio-padrão do diâmetro do orifício exceder 4,97 mm, haverá uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o rebite não se ajuste. Uma amostra aleatória de 45 peças é selecionada e o diâmetro do orifício é medido. O desvio padrão das medidas do diâmetro do orifício é de 3,976 mm. Existe forte evidência indicando que o desvio-padrão do diâmetro do orifício exceda 4,97 mm? Use alpha=0,01.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que temos aqui. O exercício fala sobre verificar se a variação (desvio-padrão) no diâmetro de um orifício está acima de um certo valor, especificamente 4,97 mm. A matéria que vamos usar é Estatística, mais precisamente o teste de hipóteses para desvio-padrão. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do teste qui-quadrado para variâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula ( H0) é que o desvio-padrão sigma é menor ou igual a 4,97 mm. A hipótese alternativa ( Ha) é que sigma é maior que 4,97 mm. Assim:
H0: sigma <= 4,97 Ha: sigma > 4,97

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do teste qui-quadrado para variâncias. A estátística de teste é dada por:
chi^2 = (n - 1)s^2sigma0^2
Onde:
  • n é o tamanho da amostra (45),
  • s é o desvio-padrão da amostra (3,976 mm),
  • sigma0 é o desvio-padrão sob a hipótese nula (4,97 mm).

Passo 4

Vamos calcular o valor da estatística qui-quadrado com os valores fornecidos:
chi^2 = (45 - 1) times (3,976)^2(4,97)^2 = 44 times 15,80924,7009 approx 695,57624,7009 approx 28,16

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para nosso teste. Como é um teste unilateral à direita e o nível de significância alpha é 0,01, vamos buscar o valor crítico chi^20,01 com df = n - 1 = 44 graus de liberdade. Consultando uma tabela qui-quadrado ou usando uma calculadora, encontramos que chi^20,01 approx 65,172.

Passo 6

Comparamos o valor calculado da estatística qui-quadrado com o valor crítico. Temos:
28,16 < 65,172
Isso significa que nossa estatística não está na região de rejeição.

Passo 7

Como o valor calculado é menor que o valor crítico, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para concluir que o desvio-padrão do diâmetro do orifício excede 4,97 mm ao nível de significância de 0,01.

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