Na pandemia, em uma cidade com 8.100 indivíduos se identificou que a taxa infecção por vírus foi de 17 %. Qual é o número de indivíduos que devem ser examinados a modo de detectar pelo menos 1 indivíduo infetado com o vírus com uma confiança de 95%

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre probabilidade durante uma pandemia. Precisamos descobrir quantas pessoas devemos examinar em uma cidade com 8.100 habitantes, onde 17% já estão infectadas, para ter 95% de certeza de encontrar pelo menos uma pessoa infectada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade envolvida. Se 17% da população está infectada, a chance de uma pessoa escolhida ao acaso não estar infectada é de 83%, ou seja, .

Passo 3

Queremos saber quantas pessoas devemos examinar (vamos chamar de ) para que a probabilidade de nenhuma delas estar infectada seja menor ou igual a 5% (já que queremos 95% de certeza de encontrar pelo menos uma).

Passo 4

A probabilidade de nenhuma das (0,83)^n <= 0,05 pessoas estar infectada é dada por . Queremos que isso seja menor ou igual a 0,05:

Passo 5

Para resolver para ln((0,83)^n) <= ln(0,05) , vamos usar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da equação:
n cdot ln(0,83) <= ln(0,05)

Passo 6

Agora, isolamos n >= ln(0,05)ln(0,83) :

Passo 7

Calculando os valores dos logaritmos:
ln(0,05) approx -2,9957
ln(0,83) approx -0,1863
n >= -2,9957-0,1863 approx 16,09

Passo 8

Como não podemos examinar uma fração de pessoa, arredondamos para cima. Portanto, precisamos examinar 17 pessoas para ter 95% de confiança de encontrar pelo menos uma pessoa infectada.

Resposta

Precisamos examinar 17 indivíduos para ter 95% de confiança de detectar pelo menos um caso de infecção.

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