- Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é escrever a função
como uma série de potências. Isso faz parte da matéria de Séries de Potências, e para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique parecida com a fórmula da série geométrica. Sabemos que:
Nesse caso, queremos que o denominador da nossa função seja
. Então, vamos manipular a nossa função para isso:
Agora, está no formato da série geométrica com
.
Passo 3
Agora que temos
, podemos substituir na fórmula da série geométrica:
Essa é a nossa série de potências para a função
.
Passo 4
Mas não acabou! Precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série, ou seja, para quais valores de
a série realmente funciona. Para uma série geométrica, a condição de convergência é:
Substituindo
:
Resposta
A série de potências é:
E o intervalo de convergência é:
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Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…):
(Resp:
Seja a função dada por
. Determinar:
Considere a seguinte equação diferencial:
c) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaz
.
Seja a função dada por
. Determinar: