1. Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
    (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é escrever a função como uma série de potências. Isso faz parte da matéria de Séries de Potências, e para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique parecida com a fórmula da série geométrica. Sabemos que:
Nesse caso, queremos que o denominador da nossa função seja . Então, vamos manipular a nossa função para isso:
Agora, está no formato da série geométrica com .

Passo 3

Agora que temos , podemos substituir na fórmula da série geométrica:
Essa é a nossa série de potências para a função .

Passo 4

Mas não acabou! Precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série, ou seja, para quais valores de a série realmente funciona. Para uma série geométrica, a condição de convergência é:
Substituindo :

Resposta

A série de potências é:
E o intervalo de convergência é:

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Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…): (Resp:
Seja a função dada por . Determinar:
Considere a seguinte equação diferencial:
c) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaz .
Seja a função dada por . Determinar: