Considere a seguinte equação diferencial:
c) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação que satisfaz a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, como separação de variáveis e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Vamos mover o termo
para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Observando a expressão, percebemos que a equação pode ser simplificada. Vamos reescrever a equação:
Para facilitar, vamos rearranjar os termos para separar as variáveis
e
:
No entanto, essa separação ainda está complicada. Então, vamos tentar outra abordagem, fazendo uma substituição.
Passo 4
Vamos tentar a substituição
, onde
e
são números que determinaremos para simplificar a equação. Mas, para este caso, uma abordagem mais direta é dividir numerador e denominador por
:
Agora, observamos que podemos aplicar uma substituição para tornar a equação mais manejável.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Então,
e sua derivada será:
Substituindo na equação original:
Agora, isolamos
:
Essa equação agora está separável e podemos integrá-la para encontrar
, e assim,
.
Resposta
Após resolver a equação diferencial, a solução que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
- Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
(a)
Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…):
(Resp:
Seja a função dada por
. Determinar:
Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…):
Resp: