Considere a seguinte equação diferencial:
-2y + (x + y^3/x) y' = 0
c) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação que satisfaz a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, como separação de variáveis e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar isolado. A equação original é:
Vamos mover o termo para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Observando a expressão, percebemos que a equação pode ser simplificada. Vamos reescrever a equação:
Para facilitar, vamos rearranjar os termos para separar as variáveis y e x:
No entanto, essa separação ainda está complicada. Então, vamos tentar outra abordagem, fazendo uma substituição.

Passo 4

Vamos tentar a substituição , onde n e m são números que determinaremos para simplificar a equação. Mas, para este caso, uma abordagem mais direta é dividir numerador e denominador por :
Agora, observamos que podemos aplicar uma substituição para tornar a equação mais manejável.

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Então, e sua derivada será:
Substituindo na equação original:
Agora, isolamos :
Essa equação agora está separável e podemos integrá-la para encontrar v, e assim, y.

Resposta

Após resolver a equação diferencial, a solução que satisfaz é:

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