28- Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, a função de onda é
com
onde é o raio atômico de Bohr.Determine a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo com centro emr .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Mecânica Quântica, especificamente com a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio. O que precisamos achar aqui é a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo de raio , centrado em . Para isso, vamos usar a função de onda dada e entender como calcular probabilidades na Mecânica Quântica.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma região específica é dada pelo quadrado da função de onda, ou seja, . No caso, a função de onda está em coordenadas esféricas, então a probabilidade em uma camada esférica de espessura é:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos substituir a função de onda na expressão da probabilidade:
Então, a probabilidade se torna:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão sobre o intervalo de interesse. O intervalo está centrado em , então os limites de integração são de até .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que para o átomo de hidrogênio, . Além disso, foi dado como:
Então, será:
Substituindo na expressão da probabilidade:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . Também, quando , , e quando , .
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral não possui uma antiderivada elemental, mas podemos aproximá-la utilizando métodos numéricos, como a Regra do Trapézio ou a Regra de Simpson. Para simplificação, vamos usar uma aproximação:
Calculando numericamente,
Então,

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo centrado em é aproximadamente 1,4%.

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a.
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b.
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