28- Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, a função de onda é
psi100=C100 e^-Z r / a0
com
C100=1raizpi(1a0)^3 / 2
onde a0 é o raio atômico de Bohr.Determine a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo De com centro emr =a0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Mecânica Quântica, especificamente com a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio. O que precisamos achar aqui é a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo de raio De, centrado em r = a0. Para isso, vamos usar a função de onda dada e entender como calcular probabilidades na Mecânica Quântica.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma região específica é dada pelo quadrado da função de onda, ou seja, |psi(r)|^2. No caso, a função de onda está em coordenadas esféricas, então a probabilidade em uma camada esférica de espessura dr é:
dP = |psi(r)|^2 cdot 4pi r^2 dr
Aqui, 4pi r^2 dr é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos substituir a função de onda psi100 na expressão da probabilidade:
|psi100|^2 = ( C100 e^-Z r / a0 )^2 = C100^2 e^-2Z r / a0
Então, a probabilidade se torna:
dP = C100^2 e^-2Z r / a0 cdot 4pi r^2 dr

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão sobre o intervalo de interesse. O intervalo De está centrado em r = a0, então os limites de integração são de r = a0 - 0.015 a0 = 0.985 a0 até r = a0 + 0.015 a0 = 1.015 a0.
P = integral0.985 a0^1.015 a0 C100^2 e^-2Z r / a0 cdot 4pi r^2 dr

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que para o átomo de hidrogênio, Z = 1. Além disso, C100 foi dado como:
C100 = 1raizpi ( 1a0 )^3/2
Então, C100^2 será:
C100^2 = 1pi ( 1a0 )^3
Substituindo na expressão da probabilidade:
P = integral0.985 a0^1.015 a0 1pi ( 1a0 )^3 e^-2 r / a0 cdot 4pi r^2 dr
Simplificando os termos:
P = integral0.985 a0^1.015 a0 4a0^3 r^2 e^-2 r / a0 dr

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 2ra0, então du = 2a0 dr ou dr = a02 du. Também, quando r = 0.985 a0, u = 1.97, e quando r = 1.015 a0, u = 2.03.
Substituindo na integral:
P = integral1.97^2.03 4a0^3 ( a0 u2 )^2 e^-u cdot a02 du
Simplificando:
P = integral1.97^2.03 4a0^3 cdot a0^2 u^24 e^-u cdot a02 du = integral1.97^2.03 a0^0 u^2 e^-u2 du = 12 integral1.97^2.03 u^2 e^-u du

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral:
12 integral1.97^2.03 u^2 e^-u du
Essa integral não possui uma antiderivada elemental, mas podemos aproximá-la utilizando métodos numéricos, como a Regra do Trapézio ou a Regra de Simpson. Para simplificação, vamos usar uma aproximação:
Calculando numericamente,
integral1.97^2.03 u^2 e^-u du approx [0.466 times (2.03 - 1.97)] = 0.466 times 0.06 = 0.02796
Então,
P approx 12 times 0.02796 = 0.01398

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo De centrado em r = a0 é aproximadamente 1,4%.

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