28- Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, a função de onda é
com
onde
é o raio atômico de Bohr.Determine a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo
com centro emr
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Mecânica Quântica, especificamente com a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio. O que precisamos achar aqui é a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo de raio
, centrado em
. Para isso, vamos usar a função de onda dada e entender como calcular probabilidades na Mecânica Quântica.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma região específica é dada pelo quadrado da função de onda, ou seja,
. No caso, a função de onda está em coordenadas esféricas, então a probabilidade em uma camada esférica de espessura
é:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 3
Vamos substituir a função de onda
na expressão da probabilidade:
Então, a probabilidade se torna:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão sobre o intervalo de interesse. O intervalo
está centrado em
, então os limites de integração são de
até
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Sabemos que para o átomo de hidrogênio,
. Além disso,
foi dado como:
Então,
será:
Substituindo na expressão da probabilidade:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
. Também, quando
,
, e quando
,
.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral não possui uma antiderivada elemental, mas podemos aproximá-la utilizando métodos numéricos, como a Regra do Trapézio ou a Regra de Simpson. Para simplificação, vamos usar uma aproximação:
Calculando numericamente,
Então,
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo
centrado em
é aproximadamente 1,4%.