5- Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L seja dada por:
d. Qual a probabilidade de encontrar o elétron nos seguintes intervalos: ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a probabilidade de encontrar um elétron em certos intervalos dentro de uma caixa unidimensional. A função de onda do elétron é dada por:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é da mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e probabilidades associadas a elas. Para encontrar a probabilidade de localizar o elétron em um determinado intervalo, precisamos integrar o quadrado da função de onda nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron entre e é dada por:
No nosso caso, como a função de onda é real, . Então, a probabilidade fica:

Passo 3

Vamos calcular essa probabilidade para cada um dos intervalos dados:

Passo 4

Começando pelo primeiro intervalo:
A função de onda nesse intervalo é , então:

Passo 5

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 6

Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado nos limites:
Então,

Passo 7

Seguindo para o segundo intervalo:
De forma semelhante:
Utilizando a mesma identidade trigonométrica:

Passo 8

Separando a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado nos limites:
Então,

Passo 9

Finalmente, para o terceiro intervalo:
A função de onda continua sendo , então:
Usando novamente a identidade trigonométrica:

Passo 10

Separando a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado nos limites:
Então,

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron nos intervalos solicitados é:
  1. :
  2. :
  3. :

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