5- Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L seja dada por:
d. Qual a probabilidade de encontrar o elétron nos seguintes intervalos: ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a probabilidade de encontrar um elétron em certos intervalos dentro de uma caixa unidimensional. A função de onda do elétron é dada por:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é da mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e probabilidades associadas a elas. Para encontrar a probabilidade de localizar o elétron em um determinado intervalo, precisamos integrar o quadrado da função de onda nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron entre e é dada por:
No nosso caso, como a função de onda é real, . Então, a probabilidade fica:
Passo 3
Vamos calcular essa probabilidade para cada um dos intervalos dados:
Passo 4
Começando pelo primeiro intervalo:
A função de onda nesse intervalo é , então:
Passo 5
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado nos limites:
Então,
Passo 7
Seguindo para o segundo intervalo:
De forma semelhante:
Utilizando a mesma identidade trigonométrica:
Passo 8
Separando a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado nos limites:
Então,
Passo 9
Finalmente, para o terceiro intervalo:
A função de onda continua sendo , então:
Usando novamente a identidade trigonométrica:
Passo 10
Separando a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado nos limites:
Então,
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron nos intervalos solicitados é: