5- Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L seja dada por:
r psi(x)=cos (pi xL) ; -L / 2 <= x <=+L / 2 psi(x)=0, |x|>L / 2
d. Qual a probabilidade de encontrar o elétron nos seguintes intervalos: -L / 2 <= x <= 0,0 <= x <= L / 2,-L / 4 <= x <=+L / 4 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a probabilidade de encontrar um elétron em certos intervalos dentro de uma caixa unidimensional. A função de onda do elétron é dada por:
psi(x) = cos(dfracpi xL), & -dfracL2 <= x <= dfracL2 0, & |x| > dfracL2
O conteúdo que vamos utilizar aqui é da mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e probabilidades associadas a elas. Para encontrar a probabilidade de localizar o elétron em um determinado intervalo, precisamos integrar o quadrado da função de onda nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade P(a <= x <= b) = integrala^b |psi(x)|^2 dx de encontrar o elétron entre P(a <= x <= b) = integrala^b psi(x)^2 dx e é dada por:
No nosso caso, como a função de onda é real, . Então, a probabilidade fica:

Passo 3

Vamos calcular essa probabilidade para cada um dos intervalos dados:

Passo 4

Começando pelo primeiro intervalo: P1 = integral-L/2^0 cos^2(dfracpi xL) dx
A função de onda nesse intervalo é , então:

Passo 5

Para integrar cos^2(theta) = dfrac1 + cos(2theta)2 , usamos a identidade trigonométrica:
P1 = integral-L/2^0 dfrac1 + cos(dfrac2pi xL)2 dx
Aplicando isso:

Passo 6

Vamos separar a integral:
P1 = dfrac12 integral-L/2^0 1 , dx + dfrac12 integral-L/2^0 cos(dfrac2pi xL) dx
Calculando cada parte:
  1. = dfrac12 ( dfracL2pi sin(0) - dfracL2pi sin(-pi) ) = dfrac12 (0 - dfracL2pi cdot 0 ) = 0
Avaliado nos limites:
Então,

Passo 7

Seguindo para o segundo intervalo: P2 = integral0^L/2 cos^2(dfracpi xL) dx
De forma semelhante:
P2 = integral0^L/2 dfrac1 + cos(dfrac2pi xL)2 dx
Utilizando a mesma identidade trigonométrica:

Passo 8

Separando a integral:
P2 = dfrac12 integral0^L/2 1 , dx + dfrac12 integral0^L/2 cos(dfrac2pi xL) dx
Calculando cada parte:
  1. = dfrac12 ( dfracL2pi sin(pi) - dfracL2pi sin(0) ) = dfrac12 (0 - 0 ) = 0
Avaliado nos limites:
Então,

Passo 9

Finalmente, para o terceiro intervalo: P3 = integral-L/4^L/4 cos^2(dfracpi xL) dx
A função de onda continua sendo P3 = integral-L/4^L/4 dfrac1 + cos(dfrac2pi xL)2 dx , então:
Usando novamente a identidade trigonométrica:

Passo 10

Separando a integral:
P3 = dfrac12 integral-L/4^L/4 1 , dx + dfrac12 integral-L/4^L/4 cos(dfrac2pi xL) dx
Calculando cada parte:
  1. = dfrac12 ( dfracL2pi sin(dfracpi2) - dfracL2pi sin(-dfracpi2) ) = dfrac12 ( dfracL2pi cdot 1 - dfracL2pi cdot (-1) ) = dfrac12 ( dfracL2pi + dfracL2pi ) = dfracL2pi
Avaliado nos limites:
Então,

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron nos intervalos solicitados é:
  1. :
  2. :
  3. :

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