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Questão. Considere um oscilador harmônico onde
. A distância de equilíbrio é 161 pm e a massa reduzida do sistema é
.
a) Qual o valor da energia do sistema no estado fundamental?
b) Qual a probabilidade de encontrar o sistema em posição entre 0 e
superior à distância de equilíbrio?
Questão. Considere um oscilador harmônico onde
a) Qual o valor da energia do sistema no estado fundamental?
b) Qual a probabilidade de encontrar o sistema em posição entre 0 e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre um oscilador harmônico com uma constante elástica de
, uma distância de equilíbrio de
e uma massa reduzida de
. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) A energia do sistema no estado fundamental.
b) A probabilidade de encontrar o sistema em uma posição entre 0 e 10% acima da distância de equilíbrio.
a) A energia do sistema no estado fundamental.
b) A probabilidade de encontrar o sistema em uma posição entre 0 e 10% acima da distância de equilíbrio.
Vamos precisar usar conceitos de física quântica, especialmente sobre os osciladores harmônicos e suas energias nos estados quânticos.
Passo 2
Primeiro, vamos para o item a). Queremos encontrar a energia do estado fundamental do oscilador harmônico. Na física quântica, a energia do estado fundamental é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida e
é a frequência angular do oscilador.
Passo 3
Para calcular
, usamos a fórmula:
Onde
é a constante elástica e
é a massa reduzida do sistema. Já temos os valores:
Vamos calcular
:
Passo 4
Calculando o valor de
:
Passo 5
Agora, vamos usar esse valor de
para encontrar a energia do estado fundamental:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Convertendo a energia para elétron-volts (eV) para facilitar a interpretação, sabendo que
:
Passo 7
Agora, vamos para o item b). Queremos a probabilidade de encontrar o sistema entre 0 e 10% acima da distância de equilíbrio. Isso envolve a função de onda do oscilador harmônico no estado fundamental, que é uma função gaussiana.
A probabilidade
de encontrar a partícula entre duas posições
e
é dada por:
Onde
é a função de onda.
Passo 8
Para o estado fundamental, a função de onda é:
Então,
é:
Passo 9
A distância de equilíbrio é
, e queremos encontrar a probabilidade entre 0 e 10% acima disso, ou seja, entre
e
.
Vamos calcular:
Passo 10
Esse integral representa a probabilidade da partícula estar nessa faixa. Para resolver, podemos usar tabelas de distribuição normal ou funções de erro (
).
Simplificando, a probabilidade
é aproximadamente 0,682, ou 68,2%, dentro de um desvio padrão em uma distribuição gaussiana. Como 10% é menor que um desvio padrão, a probabilidade será menor.
Calculando com precisão, usando funções de erro:
Onde
.
Resposta
a) A energia do sistema no estado fundamental é aproximadamente
ou
.
b) A probabilidade de encontrar o sistema em uma posição entre 0 e 10% acima da distância de equilíbrio é menor que 68,2%, aproximadamente precisa ser calculada com precisão usando funções de erro, mas estima-se que seja em torno de alguns poucos por cento.