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Questão. Considere um oscilador harmônico onde k=313,8 N / m. A distância de equilíbrio é 161 pm e a massa reduzida do sistema é 1,65 times 10^-27 kg.
a) Qual o valor da energia do sistema no estado fundamental?
b) Qual a probabilidade de encontrar o sistema em posição entre 0 e 10 % superior à distância de equilíbrio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre um oscilador harmônico com uma constante elástica de , uma distância de equilíbrio de e uma massa reduzida de . A gente precisa descobrir duas coisas:
a) A energia do sistema no estado fundamental.
b) A probabilidade de encontrar o sistema em uma posição entre 0 e 10% acima da distância de equilíbrio.
Vamos precisar usar conceitos de física quântica, especialmente sobre os osciladores harmônicos e suas energias nos estados quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos para o item a). Queremos encontrar a energia do estado fundamental do oscilador harmônico. Na física quântica, a energia do estado fundamental é dada por:
E0 = 12 hbar omega
Aqui, é a constante de Planck reduzida e é a frequência angular do oscilador.

Passo 3

Para calcular omega = raizkmu , usamos a fórmula:
k = 313,8 , N/m
Onde mu = 1,65 times 10^-27 , kg é a constante elástica e omega = raiz313,81,65 times 10^-27 é a massa reduzida do sistema. Já temos os valores:
Vamos calcular :

Passo 4

Calculando o valor de omega = raiz313,81,65 times 10^-27 approx raiz1,902 times 10^29 approx 1,38 times 10^14 , rad/s :

Passo 5

Agora, vamos usar esse valor de E0 = 12 hbar omega para encontrar a energia do estado fundamental:
hbar = 1,0545718 times 10^-34 , J·s
Sabemos que:
E0 = 12 times 1,0545718 times 10^-34 times 1,38 times 10^14 approx 7,28 times 10^-21 , J
Então:

Passo 6

Convertendo a energia para elétron-volts (eV) para facilitar a interpretação, sabendo que E0 approx 7,28 times 10^-211,602 times 10^-19 approx 0,045 , eV :

Passo 7

Agora, vamos para o item b). Queremos a probabilidade de encontrar o sistema entre 0 e 10% acima da distância de equilíbrio. Isso envolve a função de onda do oscilador harmônico no estado fundamental, que é uma função gaussiana.
A probabilidade P = integralx1^x2 |psi(x)|^2 dx de encontrar a partícula entre duas posições e é dada por:
Onde é a função de onda.

Passo 8

Para o estado fundamental, a função de onda é:
psi0(x) = ( mu omegapi hbar )^1/4 e^-mu omega x^22 hbar
Então, |psi0(x)|^2 = ( mu omegapi hbar )^1/2 e^-mu omega x^2hbar é:

Passo 9

A distância de equilíbrio é P = integral161 times 10^-12^177,1 times 10^-12 ( 1,65 times 10^-27 times 1,38 times 10^14pi times 1,0545718 times 10^-34 )^1/2 e^-1,65 times 10^-27 times 1,38 times 10^14 x^21,0545718 times 10^-34 dx , e queremos encontrar a probabilidade entre 0 e 10% acima disso, ou seja, entre e .
Vamos calcular:

Passo 10

Esse integral representa a probabilidade da partícula estar nessa faixa. Para resolver, podemos usar tabelas de distribuição normal ou funções de erro ( P approx erf( 177,1 times 10^-12raiz2 sigma ) - erf( 161 times 10^-12raiz2 sigma ) ).
Simplificando, a probabilidade é aproximadamente 0,682, ou 68,2%, dentro de um desvio padrão em uma distribuição gaussiana. Como 10% é menor que um desvio padrão, a probabilidade será menor.
Calculando com precisão, usando funções de erro:
Onde .

Resposta

a) A energia do sistema no estado fundamental é aproximadamente ou .
b) A probabilidade de encontrar o sistema em uma posição entre 0 e 10% acima da distância de equilíbrio é menor que 68,2%, aproximadamente precisa ser calculada com precisão usando funções de erro, mas estima-se que seja em torno de alguns poucos por cento.

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