Questão. Considere a função de onda:
psi(theta)=e^i m theta, m=0, pm 1, pm 2, ldots Esta função de onda é válida no domínio [0,2 pi] e obedece à condição de contorno: psi(theta)=psi(theta+2 pi).
c Esta função está normalizada? Se não, obtenha a função de onda normalizada.
d Verifique que a função de onda normalizada é autofunção do operador Lz, definido por: Lz=-i hbar partialpartial theta

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função de onda definida como psi(theta) = e^i m theta, onde m é um número inteiro. Essa função é válida no intervalo [0, 2pi] e satisfaz a condição de contorno psi(theta) = psi(theta + 2pi). O conteúdo que vamos usar aqui é a normalização de funções de onda e operadores em mecânica quântica. Para resolver as partes c e d, precisamos saber como normalizar uma função de onda e como aplicar um operador linear a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função de onda psi(theta) = e^i m theta está normalizada. Uma função de onda está normalizada se a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o domínio for igual a 1. Ou seja:
integral0^2pi |psi(theta)|^2 dtheta = 1
Vamos calcular essa integral.

Passo 3

Calculando o módulo ao quadrado da função de onda:
|psi(theta)|^2 = psi(theta) cdot psi^*(theta) = e^i m theta cdot e^-i m theta = e^0 = 1
Então, a integral fica:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi

Passo 4

Como a integral do módulo ao quadrado é 2pi e não 1, a função de onda não está normalizada. Para normalizá-la, precisamos multiplicar a função original por uma constante N de forma que:
N^2 cdot 2pi = 1 implies N = 1raiz2pi

Passo 5

Portanto, a função de onda normalizada é:
psinormalizada(theta) = 1raiz2pi e^i m theta

Passo 6

Agora, vamos verificar que essa função de onda normalizada é uma autofunção do operador Lz, que é definido por:
Lz = -i hbar ddtheta
Aplicamos o operador à função de onda normalizada:
Lz psinormalizada(theta) = -i hbar ddtheta ( 1raiz2pi e^i m theta )

Passo 7

Calculando a derivada:
ddtheta e^i m theta = i m e^i m theta
Então:
Lz psinormalizada(theta) = -i hbar cdot 1raiz2pi cdot i m e^i m theta = hbar mraiz2pi e^i m theta

Passo 8

Observamos que:
Lz psinormalizada(theta) = hbar m cdot psinormalizada(theta)
Isso mostra que psinormalizada(theta) é uma autofunção de Lz com valor próprio hbar m.

Resposta

c) A função de onda não está normalizada. A função de onda normalizada é psinormalizada(theta) = 1raiz2pi e^i m theta.
d) A função de onda normalizada psinormalizada(theta) = 1raiz2pi e^i m theta é uma autofunção do operador Lz com valor próprio hbar m.

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