Questão. Considere a função de onda:
Esta função de onda é válida no domínio
e obedece à condição de contorno:
.
c Esta função está normalizada? Se não, obtenha a função de onda normalizada.
d Verifique que a função de onda normalizada é autofunção do operador
, definido por:
c Esta função está normalizada? Se não, obtenha a função de onda normalizada.
d Verifique que a função de onda normalizada é autofunção do operador
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função de onda definida como
, onde
é um número inteiro. Essa função é válida no intervalo
e satisfaz a condição de contorno
. O conteúdo que vamos usar aqui é a normalização de funções de onda e operadores em mecânica quântica. Para resolver as partes c e d, precisamos saber como normalizar uma função de onda e como aplicar um operador linear a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função de onda
está normalizada. Uma função de onda está normalizada se a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o domínio for igual a 1. Ou seja:
Vamos calcular essa integral.
Passo 3
Calculando o módulo ao quadrado da função de onda:
Então, a integral fica:
Passo 4
Como a integral do módulo ao quadrado é
e não 1, a função de onda não está normalizada. Para normalizá-la, precisamos multiplicar a função original por uma constante
de forma que:
Passo 5
Portanto, a função de onda normalizada é:
Passo 6
Agora, vamos verificar que essa função de onda normalizada é uma autofunção do operador
, que é definido por:
Aplicamos o operador à função de onda normalizada:
Passo 7
Calculando a derivada:
Então:
Passo 8
Observamos que:
Isso mostra que
é uma autofunção de
com valor próprio
.
Resposta
c) A função de onda não está normalizada. A função de onda normalizada é
.
d) A função de onda normalizada
é uma autofunção do operador
com valor próprio
.