Questão. Obtenha expressões para as autofunções (Y1 ^m) da partícula na esfera: Y0 ^0, Y1 ^-1, Y1 ^0, Y1 ^+1. Quais os autovalores correspondentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre autofunções na esfera para uma partícula. Basicamente, precisamos encontrar as funções que são soluções da equação de Schrödinger para uma partícula na superfície de uma esfera. Para isso, vamos usar as funções esféricas e descobrir também os autovalores que correspondem a cada uma delas. Vamos precisar entender um pouco sobre as funções esféricas e seus autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as autofunções são chamadas de harmônicos esféricos. Elas dependem de dois números inteiros: (o número quântico angular) e (o número quântico magnético), onde . As funções esféricas são soluções da equação angular da equação de Schrödinger para sistemas com simetria esférica.

Passo 3

Vamos começar com Y0^0(theta, phi) = 12 raiz1pi . Aqui, e . A função correspondente é bem simples:
Isso porque, para , só temos uma função constante.

Passo 4

Agora, vamos para Y1^-1(theta, phi) = raiz38pi , sintheta , e^-iphi . Aqui, e . A função é:
Essa função descreve uma dependência angular em e .

Passo 5

Em seguida, temos Y1^0(theta, phi) = raiz34pi , costheta . Com e , a função fica:
Aqui, a função depende apenas de , mostrando simetria ao redor do eixo z.

Passo 6

Por último, Y1^+1(theta, phi) = -raiz38pi , sintheta , e^iphi com e :
Essa função é complexa e também depende de e .

Passo 7

Agora, os autovalores correspondentes estão relacionados ao número quântico angular lambda = l(l + 1) hbar^2 . A relação é dada por:
Então, para cada , temos um autovalor específico.

Resposta

As autofunções são:
Y0^0(theta, phi) = 12 raiz1pi
Y1^-1(theta, phi) = raiz38pi , sintheta , e^-iphi
Y1^0(theta, phi) = raiz34pi , costheta
Y1^+1(theta, phi) = -raiz38pi , sintheta , e^iphi
Os autovalores correspondentes são:
lambda = l(l + 1) hbar^2
Para lambda = 0 :
lambda = 2 hbar^2
Para :

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