Questão. Obtenha expressões para as autofunções
da partícula na esfera:
. Quais os autovalores correspondentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre autofunções na esfera para uma partícula. Basicamente, precisamos encontrar as funções
que são soluções da equação de Schrödinger para uma partícula na superfície de uma esfera. Para isso, vamos usar as funções esféricas
e descobrir também os autovalores que correspondem a cada uma delas. Vamos precisar entender um pouco sobre as funções esféricas e seus autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as autofunções
são chamadas de harmônicos esféricos. Elas dependem de dois números inteiros:
(o número quântico angular) e
(o número quântico magnético), onde
. As funções esféricas são soluções da equação angular da equação de Schrödinger para sistemas com simetria esférica.
Passo 3
Vamos começar com
. Aqui,
e
. A função correspondente é bem simples:
Isso porque, para
, só temos uma função constante.
Passo 4
Agora, vamos para
. Aqui,
e
. A função é:
Essa função descreve uma dependência angular em
e
.
Passo 5
Em seguida, temos
. Com
e
, a função fica:
Aqui, a função depende apenas de
, mostrando simetria ao redor do eixo z.
Passo 6
Por último,
com
e
:
Essa função é complexa e também depende de
e
.
Passo 7
Agora, os autovalores correspondentes estão relacionados ao número quântico angular
. A relação é dada por:
Então, para cada
, temos um autovalor específico.
Resposta
As autofunções são:
Os autovalores correspondentes são:
Para
:
Para
: