Um fio em forma de semicírculo de raio
é eletrizado com uma carga positiva segundo uma distribuição linear de carga dada por
, sendo
uma constante e
um ângulo medido em relação ao eixo
. (i) Determine a força elétrica produzida sobre uma carga puntiforme, também positiva, de módulo
, colocada no ponto
, no centro do semicírculo. (ii) Determine a constante
em função da carga total
do semicírculo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! A gente tem um fio em forma de semicírculo com raio
, carregado de acordo com uma distribuição linear de carga
. Precisamos calcular duas coisas: (i) a força elétrica sobre uma carga
no centro do semicírculo e (ii) a constante
em função da carga total
. Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico, força elétrica e integração de distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. A carga por unidade de comprimento no fio é dada por
. Isso significa que a carga varia com o ângulo
, sendo máxima em
(no eixo x) e zero nos extremos do semicírculo (
).
Passo 3
Para encontrar a força elétrica sobre a carga
no centro, vamos considerar um elemento infinitesimal de carga
no fio. A força elétrica
exercida por
sobre
é dada pela Lei de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática,
é o raio do semicírculo, e
é o vetor unitário na direção da força.
Passo 4
Como o fio está simetricamente disposto ao redor do ponto
, as componentes verticais das forças se cancelam. Então, só precisamos considerar a componente horizontal de cada
. A componente horizontal é
. Substituindo
:
Passo 5
Para encontrar a força total
, integramos
de
a
:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Passo 6
Agora, vamos determinar
em função da carga total
. A carga total no semicírculo é:
Sabendo que:
Aplicando os limites:
Resolvendo para
: