Um fio em forma de semicírculo de raio R é eletrizado com uma carga positiva segundo uma distribuição linear de carga dada por lambda(x)=lambda0 cos theta, sendo lambda0 uma constante e theta um ângulo medido em relação ao eixo x. (i) Determine a força elétrica produzida sobre uma carga puntiforme, também positiva, de módulo q, colocada no ponto P, no centro do semicírculo. (ii) Determine a constante lambda0 em função da carga total Q do semicírculo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! A gente tem um fio em forma de semicírculo com raio , carregado de acordo com uma distribuição linear de carga . Precisamos calcular duas coisas: (i) a força elétrica sobre uma carga no centro do semicírculo e (ii) a constante em função da carga total . Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico, força elétrica e integração de distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. A carga por unidade de comprimento no fio é dada por . Isso significa que a carga varia com o ângulo , sendo máxima em (no eixo x) e zero nos extremos do semicírculo ( ).

Passo 3

Para encontrar a força elétrica sobre a carga dF = ke dq cdot qR^2 r no centro, vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no fio. A força elétrica exercida por sobre é dada pela Lei de Coulomb:
onde é a constante eletrostática, é o raio do semicírculo, e é o vetor unitário na direção da força.

Passo 4

Como o fio está simetricamente disposto ao redor do ponto dFx = ke lambda0 cos theta cdot qR^2 cdot cos theta cdot R dtheta = ke lambda0 qR cos^2 theta dtheta , as componentes verticais das forças se cancelam. Então, só precisamos considerar a componente horizontal de cada . A componente horizontal é . Substituindo :

Passo 5

Para encontrar a força total Fx = ke lambda0 qR integral-pi2^pi2 cos^2 theta dtheta , integramos integral cos^2 theta dtheta = theta2 + sin 2theta4 de Fx = ke lambda0 qR [ pi2 + 0 ] = ke lambda0 q pi2R a :
Sabemos que:
Aplicando os limites:

Passo 6

Agora, vamos determinar Q = integral dq = integral-pi2^pi2 lambda(theta) R dtheta = lambda0 R integral-pi2^pi2 cos theta dtheta em função da carga total integral cos theta dtheta = sin theta . A carga total no semicírculo é:
Q = lambda0 R [sin(pi2) - sin(-pi2)] = lambda0 R (1 - (-1)) = 2 lambda0 R
Sabendo que:
lambda0 = Q2R
Aplicando os limites:
Resolvendo para :

Resposta

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