Se f(x, y) = x^5 - y^5 - 4 x^2 y^3 - 3 x^3 y^2 + x y^2 + x^2 - y^2 - x + y + 1, calcule:
(f(x+h, y) - f(x, y)) / h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a expressão onde a função é dada por:
Esse problema está relacionado ao cálculo de diferenciais, mais especificamente, estamos lidando com a diferença incremental da função em relação a . Para resolver isso, a gente vai precisar substituir por na função, fazer a subtração, e depois dividir tudo por .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na função . Isso significa que toda ocorrência de na função vai ser substituída por :

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença . Isso significa que vamos subtrair a função original da função com :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão acima. Primeiro, vamos distribuir os sinais e cancelar os termos que aparecem tanto no positivo quanto no negativo:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos que contêm usando as fórmulas de expansão de binômios:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Vamos simplificar ainda mais agrupando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, vamos fatorar em todos os termos:

Passo 8

Finalmente, dividimos tudo por :

Resposta

Portanto, a expressão é igual a:

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