Se F(x, y) = x^2 + y^2 é o vetor força, calcule o trabalho realizado por F ao longo de uma trajetória C parametrizada por r(t) = (t, 1+t), t em [2, 4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o trabalho realizado por um vetor força ao longo de uma trajetória C parametrizada por , onde t varia de 2 a 4. Vamos usar o conceito de trabalho em campos de força, que envolve integrar o produto escalar da força pela derivada da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é . Isso nos dá a velocidade ao longo da trajetória.

Passo 3

Agora, expressamos a força F ao longo da trajetória r(t). Substituímos x e y de r(t) na expressão da força.

Passo 4

Calculamos o produto escalar entre e .

Passo 5

Finalmente, integramos o resultado de 2t² + 2t + 1 de a para encontrar o trabalho realizado.
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de 2 a 4:

Resposta

O trabalho realizado por F ao longo da trajetória C é unidades de trabalho.

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