Calcule integralC(2 x+5 y z) d s, onde C é o segmento de reta que inicia em A(0,1,3) e termina em B(1,2,3).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de linha integralC(2 x + 5 y z) , d s, onde C é um segmento de reta que vai de A(0,1,3) até B(1,2,3).
Conteúdo envolvido:
  • Integral de Linha de Função Escalar: Calcula a soma de valores de uma função ao longo de uma curva.
  • Parametrização de Curvas: Representar a reta C de forma que possamos calcular a integral.
  • Cálculo de d s: Diferencial de arco, que nos ajuda a integrar ao longo da curva.
Vamos precisar parametrizar a reta C e aplicar as fórmulas para a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta C que vai do ponto A(0,1,3) ao ponto B(1,2,3). Para isso, usamos um parâmetro t que varia de 0 a 1.
As equações paramétricas ficam assim:
x(t) = 0 + (1-0)t = t y(t) = 1 + (2-1)t = 1 + t z(t) = 3 + (3-3)t = 3
Então, a parametrização é r(t) = (t, 1 + t, 3), onde t in [0,1].

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco d s. Para isso, precisamos das derivadas das componentes da parametrização em relação a t.
dxdt = 1, dydt = 1, dzdt = 0
O diferencial de arco é dado por:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 , dt = raiz2 , dt

Passo 4

Agora, substituímos as parametrizações na função que vamos integrar. A função dada é f(x,y,z) = 2x + 5y z. Substituindo x(t), y(t) e z(t):
f(t) = 2(t) + 5(1 + t)(3) = 2t + 15(1 + t) = 2t + 15 + 15t = 17t + 15

Passo 5

Nossa integral agora fica em termos de t:
integralC (2x + 5y z) , d s = integral0^1 (17t + 15) cdot raiz2 , dt
Podemos fatorar a constante raiz2:
raiz2 integral0^1 (17t + 15) , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral (17t + 15) , dt = 172 t^2 + 15t + C
Avaliado de 0 a 1:
[ 172(1)^2 + 15(1) ] - [ 172(0)^2 + 15(0) ] = 172 + 15 = 172 + 302 = 472

Resposta

A integral vale 472 raiz2.

Exercícios relacionados