Calcule , onde é o segmento de reta que inicia em e termina em .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de linha , onde é um segmento de reta que vai de até .
Conteúdo envolvido:
  • Integral de Linha de Função Escalar: Calcula a soma de valores de uma função ao longo de uma curva.
  • Parametrização de Curvas: Representar a reta de forma que possamos calcular a integral.
  • Cálculo de : Diferencial de arco, que nos ajuda a integrar ao longo da curva.
Vamos precisar parametrizar a reta e aplicar as fórmulas para a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai do ponto ao ponto . Para isso, usamos um parâmetro que varia de 0 a 1.
As equações paramétricas ficam assim:
Então, a parametrização é , onde .

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco . Para isso, precisamos das derivadas das componentes da parametrização em relação a .
O diferencial de arco é dado por:

Passo 4

Agora, substituímos as parametrizações na função que vamos integrar. A função dada é . Substituindo , e :

Passo 5

Nossa integral agora fica em termos de :
Podemos fatorar a constante :

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Avaliado de a :

Resposta

A integral vale .

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Mostre que o campo vetorial
é conservativo. Calcule para a curva dada por .
Se é o vetor força, calcule o trabalho realizado por ao longo de uma trajetória parametrizada por .
Calcule , onde é a parte da circunferência percorrida no sentido anti-horário.
Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a)