Calcule
, onde
é o segmento de reta que inicia em
e termina em
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é um segmento de reta que vai de
até
.
Conteúdo envolvido:
- Integral de Linha de Função Escalar: Calcula a soma de valores de uma função ao longo de uma curva.
- Parametrização de Curvas: Representar a reta
de forma que possamos calcular a integral. - Cálculo de
: Diferencial de arco, que nos ajuda a integrar ao longo da curva.
Vamos precisar parametrizar a reta
e aplicar as fórmulas para a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
que vai do ponto
ao ponto
. Para isso, usamos um parâmetro
que varia de 0 a 1.
As equações paramétricas ficam assim:
Então, a parametrização é
, onde
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial de arco
. Para isso, precisamos das derivadas das componentes da parametrização em relação a
.
O diferencial de arco é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos as parametrizações na função que vamos integrar. A função dada é
. Substituindo
,
e
:
Passo 5
Nossa integral agora fica em termos de
:
Podemos fatorar a constante
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Avaliado de
a
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Mostre que o campo vetorial
é conservativo. Calcule
para a curva
dada por
.
Se
é o vetor força, calcule o trabalho realizado por
ao longo de uma trajetória
parametrizada por
.
Calcule
, onde
é a parte da circunferência
percorrida no sentido anti-horário.
Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a)
a)