Calcule
, onde
é o segmento de reta que inicia em
e termina em
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é um segmento de reta que vai de
até
.
Conteúdo envolvido:
- Integral de Linha de Função Escalar: Calcula a soma de valores de uma função ao longo de uma curva.
- Parametrização de Curvas: Representar a reta
de forma que possamos calcular a integral. - Cálculo de
: Diferencial de arco, que nos ajuda a integrar ao longo da curva.
Vamos precisar parametrizar a reta
e aplicar as fórmulas para a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
que vai do ponto
ao ponto
. Para isso, usamos um parâmetro
que varia de 0 a 1.
As equações paramétricas ficam assim:
Então, a parametrização é
r(t) = (t, 1 + t, 3) , onde
t in [0,1] .
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial de arco
d s . Para isso, precisamos das derivadas das componentes da parametrização em relação a
t .
O diferencial de arco é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos as parametrizações na função que vamos integrar. A função dada é
f(x,y,z) = 2x + 5y z . Substituindo
x(t) ,
y(t) e
z(t) :
Passo 5
Nossa integral agora fica em termos de
t :
Podemos fatorar a constante
raiz2 :
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Avaliado de
0 a
1 :
Resposta
A integral vale
472 raiz2 .